Vertauschung von Grenzübergängen. Gleichmäßige und monotone Konvergenz

Als einer der Schlüsselsätze in der Lehre von den Potenzreihen hat sich (via Transformationssatz) der Cauchysche Doppelreihensatz erwiesen, also die Aussage, daß unter gewissen Voraussetzungen $$\sum\limits_{j = 0}^\infty {\left( {\sum\limits_{k = 0}^\infty {{a_{jk}}} } \right)} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( {\sum\limits_{j = 0}^\infty {{a_{jk}}} } \right)} $$ ist. Mit $${s_{mn}}: = \sum\limits_{j = 0}^m {\sum\limits_{k = 0}^n {{a_{jk}}} } $$ können wir sie auch in der Form $$\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \;{s_{mn}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \;{s_{mn}}} \right)$$ schreiben, die besonders deutlich ins Auge springen läßt, daß es sich hier um nichts anderes als eine Vertauschung von zwei hintereinander auszuführenden Grenzübergängen handelt1).