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2012 | Buch

Grundlagen Kapitel lesen Erstes Kapitel lesen

Vorkurs Mathematik

Arbeitsbuch zum Studienbeginn in Bachelor-Studiengängen

verfasst von: Erhard Cramer, Johanna Neslehova

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : EMIL@A-stat

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Dieses Arbeitsbuch dient dem Aufbau und der Auffrischung mathematischer Grundlagen zum Studienbeginn. Es bietet eine systematische, statistikorientierte Aufbereitung der mathematischen Grundlagen sowie eine Fülle von Anwendungsbeispielen und Aufgaben aus dem Umfeld der angewandten Statistik. Alle Themen werden ausführlich erläutert und mit vielen Beispielen und Grafiken illustriert, so dass sich das Buch in hervorragender Weise zum Selbststudium eignet. Es kann zudem als Begleittext zu einem Vorkurs/Brückenkurs Mathematik an einer Hochschule eingesetzt werden. Viele Aufgaben ermöglichen das zwingend erforderliche Einüben der behandelten Inhalte, wobei zur Überprüfung der eigenen Bearbeitung ausführliche und vollständige Lösungen enthalten sind. Die behandelten Themen umfassen die Bereiche mathematische Grundbegriffe und Symbolik, elementare Mengenlehre, Bruch- und Potenzrechnung, Summen- und Produktzeichen, Funktionen, Folgen, Reihen, Gleichungen, Ungleichungen, Grenzwerte, Differential- und Integralrechnung, Optimierung.

Nach den umfangreichen Erweiterungen der 4. Auflage wurden ausgewählte Lösungen durch weitere Grafiken illustriert, um das Verständnis der Vorgehensweise und das Nachvollziehen der Lösungsschritte zu erleichtern. Weitere Materialien zum Buch bzw. zum mathematischen Grundwissen werden auf der Webseite www.vorkurs-mathematik.de zur Verfügung gestellt.

Das Buch richtet sich an Studienanfängerinnen und Studienanfänger in Bachelor-Studiengängen, insbesondere der Wirtschafts-, Sozial- und Ingenieurwissenschaften, die ihr mathematisches Schulwissen auffrischen möchten. Darüber hinaus wendet es sich an Studierende in Fachrichtungen mit Statistikanteil, in denen eine vorbereitende Mathematikveranstaltung fehlt (z.B. Medizin oder Psychologie).

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
1. Grundlagen
Zusammenfassung
Die Mathematik und damit auch die Statistik beruhen – wie eine Fremdsprache – auf einem Vokabular, ohne das mathematische Ausdrücke, Aussagen und Resultate nicht verstanden werden können. Bestandteile dieser Fachsprache sind neben mathematischen Symbolen zentrale Begriffe wie Variablen und Funktionen sowie logische Verknüpfungen von Aussagen. Diese Formalismen dienen sowohl der einfachen, exakten und prägnanten Beschreibung von Sachverhalten als auch einer möglichst allgemeinen Modellierung realer Situationen. Die formale Sprache der Mathematik hat gegenüber verbalen Formulierungen den Vorteil, dass der betrachtete Inhalt präzise dargestellt wird und Mehrdeutigkeiten vermieden werden. Zum Verständnis dieser Sprache ist es jedoch von entscheidender Bedeutung, ihre Notationen und Symbole zu kennen und zu verstehen.
Erhard Cramer, Johanna Nešlehová
2. Mengen
Zusammenfassung
Nachdem in ►2Kapitel 1.1 der Begriff einer Menge bereits eingeführt wurde, werden in diesem Abschnitt Mengen und ihre Eigenschaften, spezielle Mengen sowie Mengenoperationen näher untersucht. Zunächst werden Venndiagramme als praktische und einfache Visualisierung von Mengen und Mengenoperationen vorgestellt.
Erhard Cramer, Johanna Nešlehová
3. Elementare Rechenoperationen
Zusammenfassung
In ►17Abschnitt 1.2 wurden Brüche \(\frac{\text{a}}{\text{b}}\) als alternative Schreibweise für Quotienten a : b eingeführt. Im Folgenden werden Eigenschaften und Rechenregeln für den Umgang mit Brüchen vorgestellt, die u.a. auch die Berechnung von Termen erleichtern.
Erhard Cramer, Johanna Nešlehová
4. Summen- und Produktzeichen
Zusammenfassung
Das Summenzeichen ∑ dient der Vereinfachung der Notation, wenn viele Zahlen gleicher Struktur summiert werden.
Erhard Cramer, Johanna Nešlehová
5. Funktionen
Zusammenfassung
In diesem Abschnitt werden die für die Mathematik fundamentalen Konzepte Abbildung und Funktion eingeführt, die spezielle Zuordnungen von Elementen einer Menge \(\mathbb{D}\) (dem Definitionsbereich) zu Elementen einer Menge \(\mathbb{W}\) (dem Wertebereich) darstellen.
Erhard Cramer, Johanna Nešlehová
6. Gleichungen
Zusammenfassung
Alle mathematischen Gleichungen haben die selbe Struktur. Sie bestehen aus zwei Termen, die durch das Gleichheitszeichen in Relation gesetzt und als rechte und linke Seite der Gleichung bezeichnet werden. Ein weiteres, wesentliches Merkmal einer Gleichung ist, dass die Terme i.Allg. (evtl. mehrere) Variablen (Unbekannte) enthalten.
Erhard Cramer, Johanna Nešlehová
7. Polynome und Polynomgleichungen
Zusammenfassung
In ►191Kapitel 6.2 wurden quadratische Gleichungen eingeführt und Lösungsmethoden bereitgestellt.
Erhard Cramer, Johanna Nešlehová
8. Ungleichungen
Zusammenfassung
Die Ersetzung des Gleichheitszeichens in einer ►183Gleichung durch ein Ordnungszeichen \({\hbox{,,}}\leqslant{\hbox{``}},\;{\hbox{,,}}<{\hbox{``}},\;{\hbox{,,}}\geqslant{\hbox{``}}\;{\text{oder}}\;{\hbox{,,}}>{\hbox{``}}\) führt zu einer Ungleichung. Sie besitzt analog zu einer Gleichung eine linke und eine rechte Seite, wie z.B.
Erhard Cramer, Johanna Nešlehová
9. Folgen und Reihen
Zusammenfassung
In ►7Kapitel 1.2 wurden u.a. die natürlichen Zahlen eingeführt. Diese Menge besitzt unendlich viele Elemente und wird i.Allg. in der aufzählenden Schreibweise \(\mathbb{N}\) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …} notiert. Da die Reihenfolge der Elemente in der aufzählenden Darstellung einer Menge ohne Bedeutung ist, beschreibt die Menge {3, 2, 1, 4, 5, 6, …} ebenfalls die natürlichen Zahlen. Die Interpretation der natürlichen Zahlen als ►321Folge berücksichtigt jedoch die Reihenfolge der Aufzählung, d.h. in dieser Situation hat jeder Eintrag einen eindeutig definierten Nachfolger: auf 1 folgt 2, auf 2 folgt 3 etc.
Erhard Cramer, Johanna Nešlehová
10. Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation
Zusammenfassung
In ►321Kapitel 9 wurden Folgen und deren Grenzwerte* eingeführt. Mittels der Konvergenz von Folgen wird der Begriff der Konvergenz† für Funktionen bei Annäherung an eine Stelle x 0 des Definitionsbereichs bzw.
Erhard Cramer, Johanna Nešlehová
11. Integration
Zusammenfassung
Die Berechnung von Integralen ist in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der angewandten Statistik ein wichtiges Hilfsmittel zur Bestimmung vonWahrscheinlichkeiten, Verteilungsfunktionen, Erwartungswerten, Varianzen und anderen Kenngrößen bei zu Grunde liegenden stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Erhard Cramer, Johanna Nešlehová
12. Optimierung
Zusammenfassung
Im Rahmen der Optimierung werden größte bzw. kleinste Werte einer Funktion f auf ihrem Definitionsbereich gesucht, d.h.
Erhard Cramer, Johanna Nešlehová
Backmatter
Metadaten
Titel
Vorkurs Mathematik
verfasst von
Erhard Cramer
Johanna Neslehova
Copyright-Jahr
2012
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-642-25819-0
Print ISBN
978-3-642-25818-3
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-642-25819-0

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