Wahrscheinliche Algebra

Frontmatter

Kapitel 1. Gerüchte um stochastische Matrizen

Zusammenfassung

Wir machen uns zunächst einmal klar, worum es sich bei stochastischen Matrizen eigentlich handelt, nämlich um die Beschreibung gedächtnisloser stochastischer Prozesse mit endlich vielen Zuständen. Dabei interessieren wir uns insbesondere für den Grenzwert der Potenzen einer stochastischen Matrix, also für das Verhalten der Zustände auf lange Sicht. Als erste einfache Beispiele betrachten wir die Verbreitung von Gerüchten und die Anmietung von E-Bikes.

Olaf Manz

Kapitel 2. Von Münzen, Füchsen, Mäusen und Bällen

Zusammenfassung

Wir wollen noch einige weitere Beispiele für das Grenzwertverhalten der Potenzen von stochastischen Matrizen mit elementaren Mitteln durchrechnen. Hierfür betrachten wir zunächst einen doppelten Münzwurf, gehen dann auf die Fuchsjagd, setzen eine Maus in einem Mäuseirrgarten aus und lassen schließlich Bälle in einen Fallturm rollen.

Olaf Manz

Kapitel 3. Wenn alles verschluckt wird

Zusammenfassung

Nun wollen wir uns dem Grenzwertverhalten von stochastischen Matrizen etwas systematischer nähern. Hierzu betrachten wir speziell absorbierend transitive Systeme. Solche Systeme besitzen einerseits mindestens einen absorbierenden Zustand, aus dem der Prozess nicht wieder herauskommt. Andererseits ist jeder andere Zustand in möglicherweise mehreren Schritten in einen der absorbierenden Zustände überführbar. Für derartige Systeme gibt es eine große Anzahl von Anwendungsfällen. Wir zeigen, dass sich für ein absorbierend transitives System der Grenzwert der Potenzen der zugehörigen stochastischen Matrix durch die Lösungen von linearen Gleichungssystemen beschreiben lässt.

Olaf Manz

Kapitel 4. Kleine Mäuseirrgärten mit Mausefallen

Zusammenfassung

Musterbeispiele für absorbierend transitive Systeme sind Mäuseirrgärten mit Mausefallen. Wir verwenden unsere Methode aus dem letzten Kapitel und lösen für einige kleine Mäuseirrgärten das zugrundeliegende Gleichungssystem. So stellen wir fest, in welcher Kammer des Mäuseirrgartens sich die Maus mit welcher Wahrscheinlichkeit auf lange Sicht aufhält.

Olaf Manz

Kapitel 5. Große Mäuseirrgärten mit Mausefallen

Zusammenfassung

Auf Basis der Erfahrung des letzten Kapitels werden wir mutiger und setzen unsere Maus in Mäuseirrgärten mit beliebig vielen Kammern und mit Mausefallen aus. Ziel dabei ist wieder zu bestimmen, in welcher Kammer sich die Maus mit welcher Wahrscheinlichkeit auf lange Sicht aufhält. Die Methoden aus Kapitel 3 führen allerdings bei zwei der Beispiele auf zweistufige Rekursionsgleichungen, die wir mit einfachen Mitteln leider nicht lösen können. Hierzu benötigt es etwas mehr Theorie, die wir im nächsten Kapitel bereitstellen.

Olaf Manz

Kapitel 6. Fibonacci lässt grüßen

Zusammenfassung

Die Fibonacci-Zahlen sind eine Folge natürlicher Zahlen, beginnend bei 0 und 1, bei denen jede die Summer ihrer beiden Vorgänger ist. Es handelt sich dabei also um eine spezielle zweistufige Rekursion. Wir lernen, wie man dabei ein beliebiges Folgenglied explizit berechnen kann und wenden das Verfahren auch auf die zwei Mäuseirrgärten aus dem letzten Kapitel an, für die eine Lösung für das Grenzverhalten der Maus noch aussteht.

Olaf Manz

Kapitel 7. Von der beschwerlichen Schullaufbahn

Zusammenfassung

Beim radioaktiven Zerfall lernen wir zunächst als mathematische Anwendung des Schulfaches Physik eine Wahrscheinlichkeitsverteilung kennen, die man als Binomialverteilung bezeichnet. Danach verfolgen wir den Weg eines Auszubildenden, zum Beispiel den eines Schülers in der gymnasialen Oberstufe, über die einzelnen Ausbildungs- bzw. Schuljahre hinweg bis hin zur Abschlussprüfung. Dabei ist natürlich zu berücksichtigen, dass ein Ausbildungs- bzw. Schuljahr gegebenenfalls wiederholt werden muss.

Olaf Manz

Kapitel 8. Vom Glück und Pech in Gesundheit und Vererbung

Zusammenfassung

Wir untersuchen zunächst das Infektionsgeschehen bei einer ansteckenden Krankheit und kümmern uns anschließend um den Verlauf der Krankheit über einige Tage hinweg. Danach wenden wir uns dem Thema Vererbung zu. Hierbei modellieren wir zuerst die nicht geschlechtsgebundene Vererbung, die bei weitem die meisten menschlichen Merkmale betrifft. Bei der geschlechtsgebundenen Vererbung kümmern wir uns dagegen speziell um zwei Defekte, nämlich die Rot-Grün-Sehschwäche und die Bluterkrankheit.

Olaf Manz

Kapitel 9. Vom Glück und Pech im Glücksspiel

Zusammenfassung

Beim sog. Random Walk mit absorbierenden Rändern schwappt das Glück zwischen zwei Spielern hin und her, wobei die Spielserie in den beiden Randzuständen mit dem Bankrott eines der beiden Spieler endet. Wir wenden unsere Überlegungen auf diverse Glückspiele an, beispielsweise auf das Werfen von Münzen, das gegeneinander Würfeln, auf Mau-Mau oder Mensch-ärger-dich-nicht. Dabei machen wir uns klar, dass beim Spiel gegen eine Bank diese bei genügend großem Kapitel am Ende immer gewinnt, was zwangsläufig zu Gambler’s Ruin führt. Schließlich betrachten wir noch speziell ein Würfelspiel um Karten.

Olaf Manz

Kapitel 10. Die recht komplexen Eigenwerte stochastischer Matrizen

Zusammenfassung

Nun ist es wieder Zeit für ein wenig Theorie. Wir kümmern uns nämlich um Eigenwerte von Matrizen und begeben uns dabei in die Gaußsche Zahlenebene. Wir stellen nämlich fest, dass die Eigenwerte von stochastischen Matrizen im und auf dem Einheitskreis liegen. Die zentrale Aussage des Kapitels ist jedoch, dass für eine stochastische Matrix genau dann der Grenzwert ihrer Potenzen existiert, wenn 1 der einzige Eigenwert vom Betrag 1 ist. Nur dann also lässt sich das Verhalten des zugehörige Systems sinnvoll auf lange Sicht beschreiben.

Olaf Manz

Kapitel 11. Eigenwerte leicht gemacht

Zusammenfassung

Motiviert vom letzten Kapitel lernen wir einige Trick zur Berechnung von Eigenwerten kennen und wenden diese Techniken auf unsere Beispiele stochastischer Matrizen aus den vorangegangenen Kapiteln an. Weiterhin überlegen wir uns, dass der Grenzwert der Potenzen einer stochastischen Matrix dann existiert, wenn sich jeder Zustand des Systems mit positiver Wahrscheinlichkeit auf der Stelle bewegen kann. Der Grenzwert existiert aber auch dann, wenn jeder Zustand ab einer gewissen Anzahl von Schritten stets mit positiver Wahrscheinlichkeit wieder in sich selbst überführt werden kann.

Olaf Manz

Kapitel 12. Jeder mit jedem

Zusammenfassung

Wir wollen uns jetzt um so etwas wie das strikte Gegenteil von absorbierend transitiven Systemen kümmern. Wir betrachten nämlich frei transitive Systeme, bei denen je zwei Zustände in möglicherweise mehreren Schritten stets ineinander überführbar sind. Wir zeigen, dass sich für ein frei transitives System der Grenzwert der Potenzen der zugehörigen stochastischen Matrix als Lösung eines linearen Gleichungssystems beschreiben lässt, dies allerdings nur, sofern der Grenzwert überhaupt existiert. Wir wenden diese Technik auf unsere Gerüchteküche aus dem ersten Kapitel sowie auf das Konsumverhalten von Verbrauchern an.

Olaf Manz

Kapitel 13. Herbe Rückschläge bei Glühbirnen und in der Bundesliga

Zusammenfassung

Als Anwendung der Methode des letzten Kapitels untersuchen wir ein weiteres Modell für stochastische Matrizen. Dabei verbessert sich ein Zustand entweder um eine Stufe oder er fällt ganz auf die unterste Stufe zurück, was einem herben Rückschlag gleichkommt. Diese Technik findet beispielsweise Anwendung bei der Frage, wie sich die Lebensdauer eines Leuchtmittels auf lange Sicht verhält oder auch bei der Anzahl erfolgreicher Spiele einer Mannschaft in Folge, etwa in der Fußballbundesliga.

Olaf Manz

Kapitel 14. Mäuseirrgärten mit freilaufender Maus

Zusammenfassung

Nun setzen wir erneut eine Maus in Mäuseirrgärten mit beliebig vielen Kammern aus, diesmal allerdings ohne Mausefallen. Ziel ist wieder zu bestimmen, in welcher Kammer sich die Maus mit welcher Wahrscheinlichkeit auf lange Sicht aufhält. Insbesondere kümmern wir uns dabei um Mäuseirrgärten ohne Einwegtüren, und dabei speziell um solche im Kreis und im Quadrat.

Olaf Manz

Kapitel 15. Trippelschritte beim Ziehen von Kugeln

Zusammenfassung

Bei vielen stochastischen Matrizen können sich die Zustände nur in Trippelschritten verändern. Das soll heißen, dass jeder Zustand nur in einen seiner beiden Nachbarzustände übergehen oder eben auch unverändert bleiben kann. Man spricht dann, wie wir bereits wissen, von einem Random Walk, wobei wir aber nun solche ohne absorbierende Ränder untersuchen wollen. Um das Verfahren zu verdeutlichen, ziehen wir zunächst nur weiße und dann sowohl weiße als auch schwarze Kugeln aus zwei Urnen, legen diese aber wieder zurück und schauen uns den Zustand der beiden Urnen auf lange Sicht an.

Olaf Manz

Kapitel 16. Diffundierende Moleküle und unruhige Maus

Zusammenfassung

Statt Kugeln wollen wir uns nun Molekülen zuwenden, genau genommen dem Ehrenfestschen Diffusionsmodell, benannte nach Paul Ehrenfest (1880–1933). Dabei sei ein Gefäß durch eine durchlässige Membran in zwei Kammern K₁ und K₂ getrennt. Im Gefäß mögen sich insgesamt n Moleküle derselben Substanz befinden.

Olaf Manz

Kapitel 17. Das Mischen beim Skat und beim A-B-C-Kartenspiel

Zusammenfassung

Wir stellen zunächst einmal fest, dass man die Mischzustände und auch die Mischvorgänge bei Kartenspielen wie zum Beispiel Skat durch Permutationen beschreiben kann. Um die zugehörigen stochastischen Matrizen übersichtlich zu halten, studieren wir für das kleine A-B-C-Kartenspiel mit seinen nur drei Spielkarten die unterschiedlichsten Mischstrategien. Dabei überlegen wir uns, welche der Strategien zu einem fairen Mischverhalten führen, bei denen nämlich auf lange Sicht jeder Mischzustand mit gleicher Wahrscheinlichkeit angenommen wird.

Olaf Manz

Kapitel 18. Faires Mischen bei vielen Spielkarten

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wollen wir uns auch noch um das Mischen beliebiger Kartenspiele kümmern. Man kann sich beispielsweise überlegen, dass ein frei transitives Mischsystem, bei dem die zugehörige stochastischen Matrix A nur den Eigenwert 1 vom Betrag 1 hat, stets fair ist. Außerdem formulieren wir mithilfe von Permutationen ein weiteres Kriterium für faires Mischen. Dieses Kriterium verwenden wir, um zu zeigen, dass bereits das einfache Mischverfahren, in zwei oder drei Kartenstabel abzuheben, fair ist.

Olaf Manz

Kapitel 19. Warten auf Jim Knopf

Zusammenfassung

Als Besucher des Europaparks können Familien auf der Lokomotive Emma, begleitet von Jim Knopf und Lukas, dem Lokomotivführer, eine Rundreise durch die Insel Lummerland unternehmen. Wir betrachten das Verhalten der Warteschlange in und vor dem Bahnhof der Fahrattraktion auf lange Sicht. Wir machen uns dabei zunächst klar, dass der Grenzwert der Potenzen der zugehörigen stochastischen Matrix stets existiert. Danach untersuchen wir speziell einen geradezu „explodierenden“ und einen eher moderaten Andrang an der Fahrattraktion.

Olaf Manz

Kapitel 20. … und auf Lukas, den Lokomotivführer

Zusammenfassung

Während Lukas, der Lokomotivführer, unermütlich mit einer Emma nach der anderen durch Lummerland schnaubt, haben wir noch etwas Zeit, um weiter die Warteschlangen in und vor dem Bahnhof zu beobachten. Wir betrachten dabei zunächst einen gleichverteilten Andrang und danach als offenbar sinnvollere Variante einen geometrisch verteilten Andrang an der Fahrattraktion. Bei dieser Gelegenheit lernen wir eben auch die geometrische Wahrscheinlichkeitsverteilung kennen.

Olaf Manz

Kapitel 21. Eine ungestörte Reise durch Lummerland

Zusammenfassung

Wenn man es nun aber endlich an die Spitze der Warteschlange geschafft hat, möchte man natürlich auch eine ungestörte Fahrt durch Lummerland erleben. Dennoch wird die ein oder andere Lokomotive Emma mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit auch mal defekt und fällt daher für den Fahrbetrieb aus. Dies allerdings nur vorübergehend: Denn zur Reparatur der Loks steht eine gut ausgerüstete Werkstatt zur Verfügung, die die Störung kurzfristig behebt. Wir interessieren uns dabei für die Anzahl der intakten, also betriebsbereiten Emmas auf lange Sicht, und das sowohl während der Hauptsaison, als auch während der Nebensaison.

Olaf Manz

Kapitel 22. In Emmas Lokschuppen

Zusammenfassung

Die Werkstatt in Emmas Lokschuppen nutzt zwei Diagnoseeinheiten, mit deren Hilfe man die Ursachen der Störungen lokalisieren kann. Aber auch Diagnoseeinheiten können ausfallen und wir interessieren uns somit für die funktionsfähigen Diagnoseeinheiten auf lange Sicht. Außerdem betreibt Emmas Lokschuppen auch ein Ersatzteillager, das unter anderem die für kleine Fahrgäste so extrem wichtigen Glocken der Loks bevorratet. Diese müssen natürlich im Falle eines Schadens sofort ausgetauscht werden. Wir untersuchen somit die Anzahl der auf lange Sicht auf Lager liegenden Glocken.

Olaf Manz

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