Äquivariante Torsion auf Kontakt-Mannigfaltigkeiten

verfasst von: Pascal Teßmer

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

Buchreihe : BestMasters

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Pascal Teßmer verallgemeinert die von Michel Rumin eingeführte Kontakt-Torsion für den äquivarianten Fall, wobei diese Größe von der Metrik abhängt. Darauf basierend untersucht der Autor deren Verhalten in Hinblick auf eine glatte Variation der Metrik. Dabei werden auch die Fälle der fixpunktfreien und der Operation mit isolierten Fixpunkten betrachtet und explizite Variationsformeln berechnet. In der höherdimensionalen Kontaktgeometrie gehört das Finden von Größen, mit deren Hilfe Kontaktstrukturen unterschieden werden können, zu den wichtigen Aufgaben.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Chapter 1. Präliminarien: Symplektische Mannigfaltigkeiten

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden einige grundlegende Aussagen über Kählermannigfaltigkeiten wiedergegeben. Es wird sich später herausstellen, dass diese Resultate auch auf Kontakt-Mannigfaltigkeiten anwendbar sind. Der Hauptgrund ist der, dass die gleich folgenden Aussagen, welche in einigen Literaturen wie zum Beispiel in [GH78] für Kählermannigfaltigkeiten bewiesen werden, wo die fast-komplexe Struktur integierbar ist, auch dann gelten, wenn die fast-komplexe Struktur nicht integrierbar ist.

Pascal Teßmer

Chapter 2. Die analytische Torsion

Zusammenfassung

Die Ideen für die Definition der Kontakt-Torsion basieren stark auf denen der analytischen Torsion. Deswegen ist es von Vorteil, wenn man weiß, wie die analytische Torsion aufgebaut ist und wie deren Herleitung aussieht, welche in diesem Kapitel erklärt wird. Wir setzen hier außerdem voraus, dass eine gegebene Mannigfaltigkeit stets geschlossen ist.

Pascal Teßmer

Chapter 3. Kontaktgeometrie

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden die für uns relevanten Grundbegriffe der Kontaktgeometrie wiedergegeben. Besonders wichtig wird für uns der Rumin-Komplex sein, welchen man als eine Art Verfeinerung des de Rham-Komplexes ansehen kann, speziell für Kontakt-Mannigfaltigkeiten. Weil der Fokus mehr auf der Analysis auf Kontakt-Mannigfaltigkeiten als auf deren Topologie liegt, werden viele wichtige differentialtopologische Aussagen nicht auftauchen, welche jedoch bei der Visualisierung von Kontakt-Mannigfaltigkeiten oft hilfreich sind.

Pascal Teßmer

Chapter 4. Operatoren auf Heisenberg-Mannigfaltigkeiten

Zusammenfassung

Eine wichtige Klasse von Differentialoperatoren auf Heisenbergfaltigkeiten sind die sogenannten Unter-Laplace-Operatoren, welche im Gegensatz zu den Laplace-Operatoren nicht elliptisch sind. Für die asymptotische Entwicklung des Wärmeleitungskern eines solchen Operators benötigt man ein geeignetes Symbolenkalkül, was unter anderem von Beals und Greiner 1988 in [BG88] unter dem Namen Heisenbergkalkül eingeführt wurde. Dieses Kapitel soll die wichtigsten Aussagen aus diesem Kalkül wiedergeben, welche wir später auf den Kontakt-Laplace-Operator anwenden werden.

Pascal Teßmer

Chapter 5. Äquivariante analytische Kontakt-Torsion

Zusammenfassung

Um die äquivariante Torsion zu definieren, gehen wir wie im ersten Kapitel vor, in dem wir einen endlich-dimensionalen Unterkomplex als Approximation des vollen Komplexes betrachtet haben. Diesmal soll die Operation von γ berücksichtigt werden, wofür man die äquivariante Determinante benötigt. Eine gegebene Mannigfaltigkeit wird in diesem Kapitel stets als kompakt vorausgesetzt.

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Chapter 6. Variationsformeln bezüglich Fixpunkten

Zusammenfassung

Wir haben gesehen, dass die Metrik sowohl von der Kontaktform als auch von der fast-komplexen Struktur abhängt, wodurch auch die Torsion und die Kontakt-Metrik von diesen beiden Größen abhängt. In diesem Kapitel werden Variationsformeln hergeleitet, falls man die Kontaktform und die fast-komplexe Struktur glatt variiert. Dazu betrachten wir auch die Fälle, in denen die Operation von der Isometrie γ keine oder nur isolierte Fixpunkte aufweist.

Pascal Teßmer

Chapter 7. Ausblick

Zusammenfassung

In [RuS12] konnte gezeigt werden, dass die Kontakt-Torsion T_K auf CRSeifert-Mannigfaltigkeiten mit der analytischen Torsion von Ray und Singer übereinstimmt. Nichtsdestotrotz ist die äquivariante Kontakt-Torsion keine Kontakt-Invariante und sie hängt von der Kontaktform und der fast-komplexen-Struktur ab. Eine Möglichkeit, um mehr kontakt-invariante Eigenschaften herauszufinden, ist es die Koeffizienten der asymptotischen Entwicklung zu berechnen, was in der Praxis nur schwer umzusetzen ist.

Pascal Teßmer

Backmatter

Titel: Äquivariante Torsion auf Kontakt-Mannigfaltigkeiten
verfasst von: Pascal Teßmer
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Electronic ISBN: 978-3-658-17794-2
Print ISBN: 978-3-658-17793-5
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-17794-2