BEM — Ein Demonstrationsprogramm zur Lösung der LAMÉschen Gleichungen im ebenen Fall

In der Elastizitätstheorie ist es üblich, verschiedene Idealisierungen am allgemeinen dreidimensionalen Modell vorzunehmen, um ein gegebenes Problem, für das Spannungen und Verformungen eines belasteten elastischen Körpers bestimmt werden sollen, zu vereinfachen. Handelt es sich um einen scheibenförmigen, das heißt einen bezüglich Länge und Breite relativ dünnen Körper, und ist zu erwarten, daß der Querschnitt unter einer Belastung, die in der Mittelebene wirkt, näherungsweise eben bleibt, so liegt ein ebener Spannungszustand (unter leicht abgewandelten Bedingungen auch ein ebener Verzerrungszustand) vor. Durch geeignete Voraussetzungen an den Spannungstensor und unter der Annahme linear-elastischen Materialverhaltens kann man aus den Gleichgewichtsbedingungen am Volumenelement die sogenannten LAMÉ-schen Gleichungen für das Scheibenproblem herleiten. Es handelt sich dabei urn ein System elliptischer partieller Differentialgleichungen 2. Ordnung für die gesuchten Verzerrungskomponenten in zwei Koordinatenrichtungen. In einfacher Weise kann der Zusammenhang zu den zugehörigen Spannungen hergestellt werden. Randbedingungen ergänzen jeweils entsprechend der Einspannung und Lagerung das System. Führt man die Airysche Spannungsfunktion ein, so läßt sich das Problem in diesem Falle in eine Bipotentialgleichung überführen. Auch dafür existieren verschiedene Lösungszugänge; wir wollen jedoch diese Wege nicht weiter verfolgen, sondern das System als Grundlage weiterer Betrachtungen wählen.