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Erschienen in:
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2016 | OriginalPaper | Buchkapitel

1. Calculation of Improper Integrals by Using Uniformly Distributed Sequences

verfasst von : Gogi Pantsulaia

Erschienen in: Applications of Measure Theory to Statistics

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

A certain modified version of Kolmogorov’s strong law of large numbers is used for an extension of the result of C. Baxa and J. Schoi\(\beta \)engeier (2002) to a maximal set of uniformly distributed sequences in (0, 1) that strictly contains the set of all sequences having the form \((\{\alpha n\})_{n \in \mathbf{N}}\) for some irrational number \(\alpha \) and having the full \(\ell _1^{\infty }\)-measure, where \(\ell _1^{\infty }\) denotes the infinite power of the linear Lebesgue measure \(\ell _1\) in (0, 1).

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Fußnoten
1
We say that a family \((f_k)_{k \in \mathbf {N}}\) of elements of \(\mathscr {B}[0,1]\) defines a uniform convergence on [0, 1], if for each \((x_n)_{n \in N} \in [0,1]^{\infty }\) the validity of the condition \(\lim _{N \rightarrow \infty }\frac{1}{N}\sum _{n = 1}^Nf_k(x_n) = \int _{[0,1]} f_k(x)dx\) for \(k \in N\) implies that \((x_n)_{n \in N}\) is uniformly distributed on [0, 1]. Indicator functions of closed subintervals of [0, 1] with rational endpoints is an example of such a family.
 
Literatur
[BS]
Baxa, C., Schoi\(\beta \)engeier, J.: Calculation of improper integrals using \((n\alpha )\)-sequences. Monatsh. Math. 135(4), 265–277 (2002). (Dedicated to Edmund Hlawka on the occasion of his \(85\) th birthday)
[H1]
[H2]
[KN]
Kuipers, L., Niederreiter, H.: Uniform distribution of sequences, Wiley-Interscience, New York (1974)
[N1]
Nikolski, S.M.: Course of mathematical analysis (in Russian), no. 1, Moscow (1983)
[P1]
[Sh]
Shiryaev, A.N.: Probability (in Russian). Izd. Nauka, Moscow (1980)MATH
[S]
Sobol, I.M.: Computation of improper integrals by means of equidistributed sequences. (Russian). Dokl. Akad. Nauk SSSR. 210, 278–281 (1973)MathSciNet
[W]
Weyl, H.: Úber ein Problem aus dem Gebiete der diophantischen Approximation. Marchr. Ges. Wiss. Gótingen. Math-phys. K1, 234–244 (1916)MATH
Metadaten
Titel
Calculation of Improper Integrals by Using Uniformly Distributed Sequences
verfasst von
Gogi Pantsulaia
Copyright-Jahr
2016
Buch
Applications of Measure Theory to Statistics

Print ISBN: 978-3-319-45577-8

Electronic ISBN: 978-3-319-45578-5

Copyright-Jahr: 2016

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-319-45578-5_1

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