Das Newton-Verfahren

Wir betrachten allgemeine nichtlineare Gleichungssysteme in so genannter Nullpunktform

(10.1)

$$ F(x) = 0 $$

mit einer gegebenen nichtlinearen Abbildung

F

:ℝ

n

→ ℝ

n

und wollen die Lösung

x

∈ ℝ

n

berechnen. Die Nullpunktform ist natürlich keinerlei Einschränkung, so können wir zum Beispiel das durch Diskretisierung entstandene nichtlineare Gleichungssystem des letzten Kapitels leicht in Nullpunktform schreiben:

$$ \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{K} _h \underline u _h - f\__h = 0. $$

Übertragenwir die Ideen für lineareGleichungssysteme,so bietet sichsofort folgende Klasse von Iterationsverfahren für (10.1) an:

$$ x_{k + 1} = x_k - \tau _k C_k^{ - 1} F(x_k ). $$

Wir nennen auch dieses Iterationsverfahren ein präkonditioniertes Richardson- Verfahren. Im Unterschied zu den bisherigen Betrachtungen lassen wir nun aber auch Präkonditionierungsmatrizen zu, die sich in jedem Iterationsschritt ändern dürfen. Man spricht in diesem Zusammenhang von einem präkonditionierten Richardson- Verfahren mit variabler Präkonditionierung.