6. Determinanten und Eigenwerte

In diesem Kapitel werden wir hauptsächlich endlich-dimensionale Vektorräume über einem Körper betrachten. Damit können wir uns also auf den Vektorraum für \(n \in \mathbb{N}\) beschränken und lineare Abbildungen mit Matrizen identifizieren. Für quadratische Matrizen , welche gerade den Endomorphismen von entsprechen, werden wir die Determinante definieren und eingehend studieren. Sie wird insbesondere ein einfaches Kriterium für die Invertierbarkeit von Matrizen liefern. Weiter wird sie für die Behandlung des Eigenwertproblems eine zentrale Rolle spielen. Die Frage nach der Existenz von genügend vielen Eigenvektoren, um die Diagonalisierbarkeit des Endomorphismus zu gewährleisten, wird uns auf das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom eines Endomorphismus führen. Für einen algebraisch abgeschlossenen Körper, oder etwas allgemeiner für ein in Linearfaktoren zerfallendes charakteristisches Polynom, werden wir mit der Jordan-Zerlegung und dem zugehörigen Spektralsatz ein effektives Mittel zur Diagonalisierung finden. Mit der Jordan-Normalform finden wir schließlich auch noch für den nilpotenten Anteil eines Endomorphismus eine besonders einfache Form.