6. Differentialgeometrie: Krümmung und Geodäten

Die ersten geometrischen Grundlagen sind geschaffen. Wir wissen jetzt, was wir unter einer Mannigfaltigkeit verstehen und wie wir auf dieser mittels der Tangentialräume Vektoren und Tensoren einführen können. Statten wir die Mannigfaltigkeit mit einer nicht-entarteten Metrik aus, die im Allgemeinen koordinatenabhängig ist, erhalten wir eine pseudo-Riemann’sche Mannigfaltigkeit. Im nächsten Schritt werden wir sehen, wie sich Tensorfelder auf Mannigfaltigkeiten ableiten lassen. Das führt uns zu dem Begriff des linearen Zusammenhangs und der kovarianten Ableitung, welche die partielle Ableitung verallgemeinern wird. Geometrisch werden wir die kovariante Ableitung als Paralleltransport von Vektoren diskutieren. Anschließend behandeln wir mit den Geodäten eine spezielle Klasse von Kurven, die in der ART die Bahnkurven kräftefreier Teilchen beschreiben. In diesem Zusammenhang werden wir mit der Exponentialabbildung ein besonderes Koordinatensystem kennenlernen, welches mit dem Lokalen Inertialsystem identifiziert werden kann. Im letzten Abschnitt wird der Krümmungstensor, der für die Einstein’schen Feldgleichungen der ART von großer Bedeutung ist, diskutiert.