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Erschienen in:

2013 | OriginalPaper | Buchkapitel

5. Einfache Bediensysteme

verfasst von : Dieter Baum

Erschienen in: Grundlagen der Warteschlangentheorie

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Zu den Grundlagen der Warteschlangentheorie gehören neben wichtigen Notations-Konventionen drei Basisaussagen, deren einfacher Formulierung eine jeweils relativ tiefliegende Begründung gegenübersteht: Der Satz von Little, die PASTA-Eigenschaft und das Paradoxon der Restlebenszeit. Das vorliegende Kapitel ist nicht nur der Präsentation einiger simpler (nämlich Markov’scher) http://prod.le-tex.de/chapter/edit/51292Bediensysteme gewidmet (Modelle M∕M∕1, M∕M∕1∕K, M∕M∕∞, M∕M∕s, M∕M∕s∕K, M∕M∕1∕K∕P), sondern auch den exakten Beweisen o. gen. Aussagen. Außerdem werden die Semi-Markov-Modelle M∕G I∕1 und G I∕M beschrieben, die Phasen-Methode erläutert, Markov-additive Ankunftsprozesse beschrieben, die Analyse des B M A P∕G I∕1-Modells vorgestellt und die Rolle Matrix-geometrischer Verteilungen nebst deren wahrscheinlichkeitstheoretischer Begründung präsentiert.

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Mehrere Eingabepuffer sind etwa vorzusehen, wenn Benutzer nach klassenspezifischen Zugangsregeln bedient werden.

Zuweilen wird mit dem Eintrag K < ∞ in der Kendall-Notation nur die Warteraumkapazität bezeichnet; K bezieht sich dann auf Systeme, in denen sich maximal K + m Benutzer befinden können, sofern es m Bedienstationen gibt. Diese Notation wird besonders in der russischen Literatur bevorzugt (s. etwa [71]).

Eine Inkonsistenz in der Notation: Eigentlich müßte man von einem M∕G I∕1-System sprechen, doch bleibt es i. a. bei der kürzeren Schreibweise. Entsprechendes gilt für G∕M versus G I∕M u. ä.

Die Notation ist hier nicht eindeutig, zuweilen wird mit ρ der Quotient \(\frac{\lambda}{s\mu}\) bezeichnet (s die Anzahl der Bediener); vergl. [97].

Damit ist die Anzahl wartender und in Bedienung befindlicher Benutzer gemeint. Man beachte, daß es mehrere Bediener geben kann.

Ein Markov-Prozeß, der eine stationäre Verteilung π besitzt, wird zu einem strikt stationären Prozeß, wenn π als Anfangsverteilung gewählt wird (Lemma 4.2.15, Abschn. 4.2.4); es macht daher – und das auch in allgemeineren Fällen – Sinn, von der strikt stationären Version eines Prozesses zu sprechen.

S. Anmerkung nach Lemma 3.3.8

Kronecker-Funktion k(x) = 1, falls x ≥ 0, und = 0 sonst.

Heaviside-Funktion H(x) = (x)⁺ = x, falls x ≥ 0, und = 0 sonst.

Wegen \(\lim _{{n\to\infty}}\frac{1}{n}\sum _{{\nu=2}}^{n}Z_{\nu}=\lim _{{n\to\infty}}\frac{1}{n-1}\sum _{{\nu=2}}^{n}Z_{\nu}\cdot\frac{n-1}{n}=\lim _{{n\to\infty}}\frac{1}{n-1}\sum _{{\nu=1}}^{{n-1}}Z_{\nu}\).

Im Englischen wird diese Voraussetzung als „Lack of Anticipation Assumption“, kurz LAA, bezeichnet.

Ist \(\mathcal{N}\) der einem Warteschlangensystem zugrundeliegende Zählprozeß der Benutzeranzahlen, so bedeutet die vorgenannte Eigenschaft, daß ein Ankömmling erst unmittelbar nach dem Ankunftszeitpunkt als im System befindlicher Benutzer gezählt wird.

Vergl. Abschn. 1.9, insbesondere das Anwendungsbeispiel 3.

Vergl. Definition 3.1.2 in Abschn. 3.1.

Solange das Bediensystem nicht leer ist, wird der Prozeß durch einen Poissonprozeß der Rate λ + μ beschrieben

Man beachte auch hier die unterschiedlichen Notationen in der Literatur; der Nutzungsfaktor U = ρ∕s wird häufig mit ρ bezeichnet, so etwa in [97].

Dazu vergl. man u. a. [55].

Aus naheliegendem Grunde wird hier von der sonst verwendeten Notation X*(s) für die LST einer Zufallsvariablen X abgewichen, d. h. wir verwenden x statt s.

Im englischen Sprachbereich auch Erlang’s B-formula, Notation B(s, λ/μ); in der deutschen Version E _1, s(λ/μ) (Erlang-Verteilung 1. Stufe).

Wie zuvor bezieht sich die Terminologie auf den zugrundeliegenden Prozeß \(\mathcal{N}=\{ N_{t}:t\ge 0\}\) der Benutzeranzahlen.

Eine meist verwendete laxere Schreibweise lautet M∕G und G∕M (s. Fußnote in Abschn. 5.1); auch im vorliegenden Text sollte der Leser ggf. unter den kürzeren Bezeichnungen stets die vorgenannten verstehen.

(t)⁺ = t für t ≥ 0, (t)⁺ = 0 für t < 0.

Untersuchungen zum Prozeßverhalten „in umgekehrter Zeitrichtung“ wurden u. a. von F.P. Kelly [90] durchgeführt; s. Abschn. 4.5.6.

Es sei daran erinnert, daß der Zustand i eines Markov-Prozesses absorbierend heißt, falls der Parameter γ _i der exponentiell verteilten Verweilzeit in i den Wert Null hat; i heißt stabil, falls 0 < γ _i < ∞ ist, und Momentanzustand, falls γ _i = ∞ ist (s. Definition 4.5.2 in Abschn. 4.5.2). Transienz und Rekurrenz sind wie für Markov-Ketten in Abschn. 4.2.2 definiert, vergl. Definition 4.2.3.

Es sei daran erinnert, daß mit quadratischer Matrix A die Exponentialmatrix e ^A durch \(e^{{A}}=I+\sum _{{\nu=1}}^{{\infty}}A^{\nu}/\nu!\) definiert ist; zur Matrix-Analysis generell vergl. man etwa [20].

\(\lim _{{t\to\infty}}{\tilde{\pi}}_{i}(t)> 0\) impliziert \(\lim _{{n\to\infty}}p_{{ki}}^{{e(n)}}> 0\) für die eingebettete Markov-Kette; dazu vergl. man dann die Inklusion (4.21), Abschn. 4.2.2.

Die Dirac’sche Delta-„Funktion“ δ(t) (im Kontext der Fernmeldetechnik auch bekannt als Impulsfunktion u ₀((t))) erfüllt δ(t) = 0 für t ≠ 0 und \(\int _{{-\infty}}^{{+\infty}}\delta(t)dt=1\). Es handelt sich strenggenommen um keine Funktion, vielmehr ist δ(t) als Punktmaß δ ₀ über ℝ mit δ ₀(M) = 1_M(0) für M ∈ ℬ(ℝ) (vergl. Definition 1.4.9, Abschn. 1.4) oder als Distribution definiert [27, 160].

Unter M = [m _i j] ≥ 0 ist m _i j ≥ 0 ∀ i, j zu verstehen.

I _k die Einheitsmatrix der Ordnung k.

Vergl. Anhang A.

Zur üblichen Notation bei Markov-Ketten s. auch Abschn. 4.2.1.

Eine Matrix, deren Einträge selbst Matrizen sind, wird als Blockmatrix bezeichnet.

G = g _i j _{i, j ∈ {1,…, m + 1}} bezeichnet wieder den Generator des Phasenprozesses.

Die phasenverteilte Zufallsvariable θ ist hier die Variable Z der Zwischenankunftszeit.

Vergl. auch die Struktur der Matrix (5.100) des G I∕M-Systems.

Für den Plural benutzen wir die ans Englische angepaßte Bezeichnung MaPs .

Zuwächse, also Gruppengrößen, werden sinnvollerweise stets als endlich angenommen.

Man beachte die Nicht-Vertauschbarkeit der Matrizen \(\left.\frac{d}{dz}D(z)\right|_{{z=1}}\) und D(1).

F _B(t) = ℙ(B ≤ t) die Verteilungsfunktion der Bediendauer B.

Es sei daran erinnert, daß π der Gleichgewichtsvektor des Phasenprozesses \(\mathcal{J}\) mit Generator D ist und somit π D = o erfüllt.

Das ist die Erstdurchlaufszeit von (n + r, i) nach (n, j) der eingebetteten Kette \(\mathcal{X}\) ohne vorherigen Besuch im Makro-Zustand n.

In der Literatur wird anstelle von G hier häufig der Buchstabe R verwendet [107].

Allgemein natürlich nur für bzgl. der Ordnung multiplikativ verträgliche Matrizen.

Eine Funktion f(t) heißt von exponentieller Ordnung γ für t → ∞, falls es Konstanten M > 0 und N > 0 derart gibt, daß für alle t > N gilt |e ^−γ t f(t)| < M.

Ableitungen sind wie üblich durch Strich gekennzeichnet.

Je nachdem, ob es sich um einen zeitdiskreten oder einen zeitkontinuierlichen Markov-Prozeß handelt, ist im Folgenden unter „charakteristischer Matrix“ die Übergangsmatrix oder die Generatormatrix zu verstehen.

Es sei angemerkt, daß die obere Block-Hessenberg-Struktur der Matrizen vom M ∕ G I ∕1-Typ i. a. nicht eine Matrix-geometrische Form der Lösung der charakteristischen Gleichung garantiert!

Titel: Einfache Bediensysteme
verfasst von: Dieter Baum
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Buch: Grundlagen der Warteschlangentheorie
Print ISBN: 978-3-642-39631-1

Electronic ISBN: 978-3-642-39632-8

Copyright-Jahr: 2013
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-39632-8_5

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