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Über dieses Buch

Eine gleichermaßen aktuelle wie zusammenfassende Darstellung der wichtigsten Methoden zur Untersuchung der klassischen Gruppen fehlte bislang in deutschsprachigen Lehrbüchern. Indem der Autor die klassischen Gruppen sowohl aus algebraisch-geometrischer Sicht, wie auch mit Lieschen (infinitesimalen) Methoden studiert, schließt er diese Lücke. Die von Grund auf behandelte Darstellungstheorie mündet im algebraischen Teil in der Brauer-Weylschen Methode der Zerlegung von Tensorpotenzen durch Youngsche Symmetrieoperatoren in irreduzible Teilräume. Auf der Ebene der Lie-Algebren wird die Klassifikation der irreduziblen Darstellungen durch höchste Gewichte durchgeführt. Besonderer Wert liegt auf einer ausführlichen Erläuterung des Zusammenspiels der Gruppen und ihrer Lie-Algebren, die das Kernstück der Lieschen Theorie ausmachen. In dieser Hinsicht dient das Buch auch als Einführung in die Theorie der Lie-Gruppen; zur Parametrisierung wird dabei ausschließlich die Matrix-Exponentialabbildung verwandt, wodurch ganz auf den aufwendigen Apparat der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten verzichtet werden kann. Eine Fülle von Beispielen und Übungsaufgaben dienen zur Vertiefung des Gelernten. Inhaltlich schließt der Text unmittelbar an die Grundvorlesungen über Analysis und Lineare Algebra an.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel I. Die klassischen Gruppen

Zusammenfassung
Den Hauptteil dieses Kapitels bilden die Paragraphen 2, 4 und 5, in denen grundlegende Aussagen zur algebraischen Struktur der klassischen Gruppen hergeleitet werden, also der allgemeinen und der speziellen linearen Gruppen (§ 2), der orthogonalen und unitären Gruppen (§ 4) und der symplektischen Gruppen (§ 5). Der einzige topologische Begriff, der hier auftritt, ist der des Zusammenhangs, da sich die diesbezüglichen Aussagen leicht mit Hilfe der angegebenen Erzeugendensysteme gewinnen lassen (wird in II, § 2.7 weitergeführt). Ausführlich werden verschiedene Gruppen „niedriger Dimension“ behandelt — auch solche, die von indefiniten Formen herkommen wie z.B. Lorentz- und Poincare-Gruppe.
Wolfgang Hein

Kapitel II. Abgeschlossene Untergruppen von GL(n, IK)

Zusammenfassung
Während bisher ausschließlich algebraische Methoden bei der Untersuchung der klassischen Gruppen genutzt wurden, kommen wir in diesem Kapitel zur „infinitesimalen“ oder „Lieschen Theorie“ dieser Gruppen. Dabei werden wir uns — wie die erste Bezeichnung zum Ausdruck bringt — die Differentialrechnung zunutze machen, um weitere Strukturmerkmale der klassischen, und allgemeiner der abgeschlossenen Untergruppen von GL(n, IK), die wir im folgenden als „lineare Gruppen“ bezeichnen, herauszuarbeiten.
Wolfgang Hein

Kapitel III. Darstellungen der klassischen Gruppen

Zusammenfassung
Ziel dieses Kapitels ist die explizite Beschreibung der irreduziblen (endlüch-dimensionalen komplexen) Darstellungen der klassischen Gruppen. Kenntnisse über Darstellungstheorie werden nicht vorausgesetzt, die notwendigen Grundlagen werden in § 1 bereitgestellt.
Wolfgang Hein

Kapitel IV. Halbeinfache komplexe Lie-Algebren

Zusammenfassung
Die Klassifizierung der Darstellungen der in der Überschrift gennannten Lie- Algebren ist ein besonders eindrucksvolles Beispiel der Nützlichkeit und Effektivität der „infinitesimalen“ Methode in der Gruppentheorie. Wir beginnen dieses Kapitel mit einer ausführlichen Erläuterung des „Abstiegs“ von der Darstellungstheorie linearer Gruppen zu der ihrer Lie-Algebren und deren Komple- xifizierungen; m.a.W. der Injektivität der Abbildung D(G, V) → D((LG), V), ρLρ von der Menge der Darstellungen der Gruppe G auf V in die Menge der Darstellungen der komplexen Lie-Algebra (LG) auf V. Die Bijektivität dieser Abbildung im Fall, daß G einfach zusammenhängend ist, ist eine der Grundlagen für den Weyischen Unitär-Trick, mit dem die vollständige Reduzibilität der halbeinfachen Lie-Algebren und ihrer Gruppen bewiesen wird (§1.4).
Wolfgang Hein

Backmatter

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