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2021 | Buch

Die Maxwell’schen Gleichungen Kapitel lesen Erstes Kapitel lesen

Elektromagnetische Feldtheorie

Für Ingenieure und Physiker

verfasst von: Prof. Dr. Günther Lehner, Prof. Stefan Kurz

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik"

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Über dieses Buch

Die elektromagnetische Feldtheorie ist ein für Ingenieure und Naturwissenschaftler grundlegendes Wissensgebiet, das die Gesetzmäßigkeiten elektrischer und magnetischer Felder und Wellen beschreibt.

In diesem didaktisch ausgearbeiteten Lehrbuch werden die elektromagnetische Feldtheorie und die dafür erforderlichen mathematischen Methoden vermittelt. Dafür hat der Autor die Lehrinhalte möglichst anschaulich aufbereitet, die Begriffsbildungen und Ableitungen legt er äußerst genau dar.

Zu Beginn werden die Maxwellschen Gleichungen, die die Grundlage der klassischen Elektrodynamik bilden, vorgestellt und erläutert. Es folgen Ausführungen über Elektrostatik, Strömungsprobleme, Magnetostatik, quasistationäre Felder und elektromagnetische Wellen. Der Autor behandelt die Anwendung numerischer Methoden wie finite Differenzen, finite Elemente (FEM), Randelemente, Ersatzladungsmethoden und Monte-Carlo-Methoden auf feldtheoretische Probleme. Darüber hinaus gibt er immer wieder Ausblicke auf grundlegende, zum Teil noch offene Fragen der Physik bis hin zur Quantenmechanik. Ein Kapitel widmet sich der Relativitätstheorie, die Maxwells klassische Elektrodynamik erweitert. Denn mithilfe von Einsteins Theorie lassen sich zahlreiche Probleme der elektromagnetischen Feldtheorie leichter lösen.

Das Lehrbuch richtet sich an Studierende der ingenieurwissenschaftlichen Fächer und der Physik. Aber auch Studierende anderer naturwissenschaftlicher Fachrichtungen profitieren von diesem Standardwerk zur elektromagnetischen Feldtheorie. Ein Verzeichnis der Symbole und ein Sachverzeichnis erleichtern die Handhabung des Buchs und unterstützen das Lernen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
1. Die Maxwell’schen Gleichungen
Zusammenfassung
Zunächst werden die Grundbegriffe und die wesentlichen Größen der elektromagnetischen Feldtheorie definiert, die elektrische Ladung im Zusammenhang mit dem Coulomb’schen Gesetz, die elektrische Feldstärke \(\mathbf{E}\), die dielektrische Verschiebung \(\mathbf{D}\), der elektrische Fluss, das elektrische Potential und die Spannung, der elektrische Strom und die Stromdichte, die magnetische Feldstärke und die magnetische Induktion usw. Gleichzeitig werden die Grundbegriffe der Vektoranalysis eingeführt, insbesondere die Divergenz und die Rotation und die zugehörigen Integralsätze (Gauß’scher und Stokes’scher Integralsatz). Damit werden dann die vier Maxwell’schen Gleichungen formuliert. Schließlich wird noch das übliche Maßsystem (das MKSA-System bzw. SI-System) beschrieben.
Günther Lehner, Stefan Kurz
2. Die Grundlagen der Elektrostatik
Zusammenfassung
Hier geht es um zeitunabhängige elektrische Felder und Potentiale, die der Poisson’schen bzw. der Laplace’schen Gleichung genügen. Zunächst wird die Berechnung der Feldstärke und des Potentials für beliebige vorgegebene und einige spezielle Ladungsverteilungen beschrieben. Anschließend werden elektrische Dipole und Dipolverteilungen sowie deren elektrische Felder behandelt. Weitere Abschnitte sind dem Verhalten von Leitern und dielektrischen Medien in elektrischen Feldern gewidmet. Schließlich wird der Energiesatz für elektromagnetische Felder abgeleitet, wobei hier besonders auf die Energie bzw. Energiedichte elektrischer Felder eingegangen wird. Schließlich werden die in elektrischen Feldern auftretenden Kräfte erörtert.
Günther Lehner, Stefan Kurz
3. Die formalen Methoden der Elektrostatik
Zusammenfassung
Zunächst geht es hier um die mathematischen Voraussetzungen, insbesondere um die Koordinatentransformation und um die Vektoranalysis für krummlinige orthogonale Koordinaten. Die Operatoren der Vektoranalysis (grad, div, rot) für kartesische Koordinaten, Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten werden explizit abgeleitet. Einer Diskussion der Poisson’schen und der Laplace’schen Gleichung und ihrer Eigenschaften („Potentialtheorie“, Eindeutigkeit, Green’sche Integralsätze, Kirchhoff’scher Integralsatz) folgt die Behandlung von Randwertproblemen der Elektrostatik mit Hilfe der Separationsmethode für kartesische Probleme, Zylinderprobleme und Kugelprobleme. Das führt automatisch zur Entwicklung der Lösungen in Form von Fourier-Reihen, Fourier-Integralen (Fourier-Transformationen), Fourier-Bessel-Reihen, Hankel-Integralen (Hankel-Transformationen), Entwicklungen nach Kugelfunktionen (Legendre’schen Polynomen) und zugeordneten Kugelfunktionen. Anschließend werden Vielleitersysteme und das Reziprozitätstheorem erörtert. Schließlich wird neben dem Potential auch die Stromfunktion eingeführt, was die Definition komplexer Potentiale in Form von analytischen Funktionen im Sinne der Funktionentheorie erlaubt. Damit können dann „ebene“ elektrostatische Probleme durch konforme Abbildungen gelöst werden.
Günther Lehner, Stefan Kurz
4. Das stationäre Strömungsfeld
Zusammenfassung
Die Felder zeitunabhängiger elektrischer Ströme lassen sich mit den Methoden der im Kap. 4 behandelten Elektrostatik behandeln, da eine weitgehende Analogie zwischen der dielektrischen Verschiebung in elektrostatischen Feldern und der Stromdichte in stationären Strömungsfeldern besteht. Diese Analogie wird an Beispielen dargestellt.
Günther Lehner, Stefan Kurz
5. Die Grundlagen der Magnetostatik
Zusammenfassung
Nach der Einführung des sogenannten Vektorpotentials \(\mathbf{A}\) wird gezeigt, dass dieses einer Vektor-Poisson-Gleichung genügt, die in Analogie zur skalaren Poisson-Gleichung der Elektrostatik gelöst werden kann. In stromfreien Gebieten kann auch ein dem elektrischen skalaren Potential analoges magnetisches skalares Potential herangezogen werden. Unter anderen Feldern wird insbesondere das von Kreisströmen berechnet, d. h. das Feld von magnetischen Dipolen. Das führt zum Begriff der Magnetisierung und zur Behandlung magnetisierbarer Medien (Para-, Dia- und Ferromagnetismus). Anschließend wird das Verhalten magnetisierbarer Materie (z. B. von ebenen Platten, Kugeln, Hohlkugeln) in Magnetfeldern beschrieben. Auch werden magnetische Randwertprobleme durch Separation gelöst. Abschließend werden magnetische Energie und magnetischer Fluss und deren Zusammenhang mit den Induktivitätskoeffizienten erörtert.
Günther Lehner, Stefan Kurz
6. Zeitabhängige Probleme I (Quasistationäre Näherung)
Zusammenfassung
Nach der Behandlung zeitunabhängiger elektrischer oder magnetischer Probleme werden hier erstmals zeitabhängige elektromagnetische Probleme untersucht. Dabei wird zunächst nur das Induktionsgesetz in den Maxwell’schen Gleichungen berücksichtigt, nicht jedoch die Verschiebungsstromdichte. Diese Vernachlässigung ist näherungsweise möglich, wenn die Zeitableitungen (bzw. die Frequenzen periodischer Zeitveränderungen) nicht zu groß sind. Als wesentliche Gleichungen treten nun statt der Poisson- oder Laplace-Gleichungen Gleichungen vom Typ der Diffusionsgleichung (d. h. parabolische partielle Differentialgleichungen) auf. Bei der Behandlung der Zeitabhängigkeit spielt die Laplace-Transformation eine erhebliche Rolle. Die Lösung wird an einer Reihe von Beispielen vorgeführt („Felddiffusion“ im unendlichen Raum, im Halbraum, in ebenen Platten). Im zeitlich periodischen Fall handelt es sich um den Skin-Effekt, der insbesondere auch für zylindrische Leiter behandelt wird.
Günther Lehner, Stefan Kurz
7. Zeitabhängige Probleme II (Elektromagnetische Wellen)
Zusammenfassung
Hier werden die Maxwell’schen Gleichungen ohne Vernachlässigung untersucht, was zur Lösung der sogenannten (hyperbolischen) Wellengleichung führt. Deren einfachste Lösungen sind ebene Wellen (ungedämpft in verlustfreien, gedämpft in verlustbehafteten Medien). Aus den Randbedingungen, denen die elektrischen und magnetischen Felder an Mediengrenzen genügen müssen, gewinnt man das Reflexionsgesetz, das Brechungsgesetz und die Fresnel’schen Beziehungen für die Amplitudenverhältnisse der Wellen. Wellengleichungen ergeben sich nicht nur für die Felder selbst, sondern auch für die Potentiale. Beim Vorhandensein von Strömungen und Ladungen erhält man die sogenannten inhomogenen Wellengleichungen. Als deren Lösungen erhält man zeitlich retardierte und avancierte Potentiale, wodurch die Tatsache zum Ausdruck kommt, dass Felder sich nur mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten können. Man kann auch noch sogenannte Superpotentiale (Hertz’sche Vektoren) einführen, mit deren Hilfe die Felder des Hertz’schen Dipols (des schwingenden elektrischen Dipols) und der Rahmenantenne (des schwingenden magnetischen Dipols) und deren Strahlungsleistung berechnet werden. Anschließend werden Wellen in zylindrischen Hohlleitern untersucht (TM-, TE- und TEM-Wellen). Zuletzt werden einige interessante Rand- und Anfangswertprobleme erörtert, die das Zusammenspiel von Diffusion und Ausbreitung mit Lichtgeschwindigkeit verständlich machen.
Günther Lehner, Stefan Kurz
8. Formulierung der Elektrodynamik mit Differentialformen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden die Maxwell’schen Gleichungen mit Hilfe von Differentialformen ausgedrückt. Dabei werden die Operatoren Gradient, Rotation und Divergenz durch einen einzigen Operator der äußeren Ableitung ersetzt. Ebenso werden die Integralsätze von Gauß und Stokes durch einen einzigen Integralsatz ersetzt. Ferner wird klar, dass die Maxwell’schen Gleichungen topologische Gleichungen sind, die sich in der Formulierung mit Differentialformen unter Beibehaltung ihrer Form in beliebige Koordinatensysteme transformieren lassen. Die metrische Information steckt in den Materialbeziehungen und kann mit Hilfe sogenannter Hodge-Operatoren ausgedrückt werden. Neben der damit einhergehenden übersichtlichen und eleganten Darstellung erhält man einen gut geeigneten Ausgangspunkt für numerische Methoden. Die Materialbeziehungen zeigen ein Lorentz-invariantes Verhalten. Das wird besonders deutlich, wenn man die Elektrodynamik in vier Dimensionen formuliert. Dabei erweist es sich als vorteilhaft, dass der Kalkül mit Differentialformen in beliebigen Dimensionen angewendet werden kann. Im Gegensatz dazu ist die Vektoranalysis auf drei Dimensionen beschränkt.
Günther Lehner, Stefan Kurz
9. Numerische Methoden
Zusammenfassung
Dieses Kapitel gibt einen Überblick über die verschiedenen anwendbaren numerischen Methoden ohne jedoch die Details darzustellen. Zunächst werden die erforderlichen potentialtheoretischen Grundlagen geschildert. Sodann werden Randwertprobleme als Variationsprobleme mit den entsprechenden Variationsintegralen und Euler’schen Differentialgleichungen behandelt. Es folgt eine Beschreibung der verschiedenen Methoden gewichteter Residuen (Kollokationsmethode, Methode der Teilgebiete, Momentenmethode, Methode der kleinsten Fehlerquadrate, Galerkin-Methode). Weiter werden die Methoden der finiten Differenzen, die Methode der finiten Elemente, die Methode der Randelemente, Ersatzladungsmethoden und die Monte-Carlo-Methode beschrieben. Ein Abschnitt ist Random-Walk-Prozessen gewidmet, die für das Verständnis der Monte-Carlo-Methode benötigt werden.
Günther Lehner, Stefan Kurz
10. Anhang
Zusammenfassung
Abschn. 9.1 Der Zusammenhang zwischen der Ruhemasse des Lichtquants und der elektromagnetischen Feldtheorie (Proca-Gleichungen). Abschn. 9.2 Das Problem der eventuellen Existenz magnetischer Monopole. Abschn. 9.3 Die Bedeutung der elektromagnetischen Felder und Potentiale im Zusammenhang mit der Quantenmechanik (Bohm-Aharonov-Effekte). Abschn. 9.4 Die Liénar-Wiechert’schen Potentiale für bewegte geladene Teilchen. Abschn. 9.5 Das Helmholtz’sche Theorem zur Darstellung beliebiger Vektorfelder durch ihre Quellen und Wirbel. Abschn. 9.6 Eine kurze Darstellung der speziellen Relativitätstheorie (Lorentz-Transformation, Lorentz-Kontraktion, Zeitdilatation, relativistische Geschwindigkeitsaddition, Aberration und Dopplereffekt, relativistische Transformation der Maxwell’schen Gleichungen, Vierervektoren, Vierertensoren, Feldtensor, Viererschreibweise der Maxwell’schen Gleichungen etc.). Abschn. 9.7 Eine kurze Darstellung der Allgemeinen Relativitätstheorie und ihrer höchst interessanten Konsequenzen (Lichtablenkung, Periheldrehung etc.).
Günther Lehner, Stefan Kurz
Backmatter
Metadaten
Titel
Elektromagnetische Feldtheorie
verfasst von
Prof. Dr. Günther Lehner
Prof. Stefan Kurz
Copyright-Jahr
2021
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-63069-3
Print ISBN
978-3-662-63068-6
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-63069-3

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