Ergodentheorie

Gesetze der großen Zahl, zum Beispiel für unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen

$$X_1,\ldots,X_n$$

besagen, dass

$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\,\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i=E[X_1]$$

fast sicher konvergiert. Wir können also die Mittelung über die tatsächliche Realisierung vieler Zufallsvariablen mit der Mittelung über die möglichen Realisierungen eines

X

i

vertauschen. In der statistischen Physik spricht man von der Äquivalenz von

Zeitmittel

und

Scharmittel

, oder der Mittelung entlang einer Trajektorie (griechisch

odos

) des Systems gegenüber der Mittelung aller möglichen Zustände mit gleicher Energie (griechisch

ergon

). Hieraus leitet sich der Begriff der Ergodentheorie ab, die Gesetze der großen Zahl für Zufallsvariablen mit Abhängigkeiten, aber zeitlicher Stationarität liefert.