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Erschienen in:
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2022 | OriginalPaper | Buchkapitel

Exact Solutions of Einstein–Maxwell(-Dilaton) Equations with Discrete Translational Symmetry

verfasst von : Jiří Ryzner, Martin Žofka

Erschienen in: Einstein Equations: Local Energy, Self-Force, and Fields in General Relativity

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

The aim of this work is to construct exact solutions of Einstein–Maxwell(-dilaton) equations possessing a discrete translational symmetry. We present two approaches to the problem. The first one is to solve Einstein–Maxwell equations in 4D, and the second one relies on dimensional reduction from 5D. We examine the geometry of the solutions, their horizons and singularities and compare them.

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Fußnoten
1
The term extremal refers to the fact that the black hole horizons are degenerate, which in this case translates to their charges equal to their masses.
 
2
The number of spacelike dimensions is denoted as n.
 
3
Latin indices range over 1, …, n and label only spatial components, and Greek indices are 0, …, n.
 
4
The Laplacian for the spatial metric h is defined as \(\Delta _h f \equiv h^{ij} \nabla _{i} \nabla _{j} f = \frac {1}{\sqrt {\mathfrak {h}}} \left (\sqrt {\mathfrak {h}} h^{ij} f_{i}\right )_{,j}\).
 
5
Dirac comb is a periodic tempered distribution defined as
https://static-content.springer.com/image/chp%3A10.1007%2F978-3-031-21845-3_10/MediaObjects/494890_1_En_10_Equa_HTML.png
 
6
Modified Bessel function of the second kind Kν is defined as
$$\displaystyle \begin{aligned} K_\nu \left(x\right) \equiv \int_{0}^{\infty} \exp \left(-x \text{cosh} t \right) \text{cosh}\left(\nu t\right) \mathrm{d}{t}, x > 0. \end{aligned}$$
 
7
From the Newton integral test, we get the following inequality for integrable, non-increasing and non-negative Cl:
$$\displaystyle \begin{aligned} C_l \geq 0, \frac{\partial{C_l}}{\partial{l}} \leq 0 \, \forall l \geq 1, \sum_{l=1}^{\infty} C_l < \infty \Rightarrow \int_{1}^{\infty} C_l \mathrm{d}{l} \leq \sum_{l=1}^{\infty} C_l \leq C_1 + \int_{1}^{\infty} C_l \mathrm{d}{l}. \end{aligned}$$
 
8
For simple binary MP black holes in 5D, the horizon is not smooth. Thanks to the alignment of all black holes in the crystal, the horizons of individual black holes are smooth.
 
Literatur
1.
2.
A. Papaetrou, A static solution of the equations of the gravitational field for an arbitrary charge distribution. Proc. Roy. Irish Acad. (Sect. A) A51, 191–204 (1947)MathSciNet
3.
J.B. Hartle, S.W. Hawking, Solutions of the Einstein-Maxwell equations with many black holes. Commun. Math. Phys. 26(2), 87–101 (1972)MathSciNetCrossRef
4.
J. Ryzner, M. Žofka, Electrogeodesics in the di-hole Majumdar-Papapetrou spacetime. Classical Quantum Gravity 32(20), 205010 (2015)
5.
J. Ryzner, M. Žofka, Extremally charged line. Classical Quantum Gravity 33(24), 245005 (2016)
6.
J. Ryzner, M. Žofka, Einstein Equations: Physical and Mathematical Aspects of General Relativity (Springer-Verlag GmbH, Berlin, 2019)
7.
J.P.S. Lemos, V.T. Zanchin, Class of exact solutions of Einstein’s field equations in higher dimensional spacetimes, d ≥ 4: Majumdar-Papapetrou solutions. Phys. Rev. D 71, 124021 (2005)MathSciNetCrossRef
8.
D.L. Welch, On the smoothness of the horizons of multi-black-hole solutions. Phys. Rev. D 52, 985–991 (1995)MathSciNetCrossRef
9.
V.P. Frolov, A. Zelnikov, Scalar and electromagnetic fields of static sources in higher dimensional Majumdar-Papapetrou spacetimes. Phys. Rev. D 85, 064032 (2012)CrossRef
10.
Metadaten
Titel
Exact Solutions of Einstein–Maxwell(-Dilaton) Equations with Discrete Translational Symmetry
verfasst von
Jiří Ryzner
Martin Žofka
Copyright-Jahr
2022
Buch
Einstein Equations: Local Energy, Self-Force, and Fields in General Relativity

Print ISBN: 978-3-031-21844-6

Electronic ISBN: 978-3-031-21845-3

Copyright-Jahr: 2022

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-031-21845-3_10

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