Finanzmathematik

Frontmatter

1. Einführung in die Preistheorie

Zusammenfassung

Finanzmärkte haben entscheidenden Einfluß auf die globalisierte Weltwirtschaft und damit auf die Entwicklung unseres Planeten gewonnen. Seit den bahnbrechenden, 1997 durch die Verleihung des Nobelpreises gewürdigten Arbeiten von Black und Scholes (1973) und Merton (1973) haben die stochastischen Modellierungen von Finanzmärkten und die daraus abgeleiteten mathematischen Verfahren zur Preisfestsetzung von auf diesen Märkten gehandelten Finanzgütern die Theorie und Praxis der Finanzmärkte wesentlich geprägt. Von den verschiedenen Typen von Finanzmärkten seien hier angesprochen:

• Aktienmärkte, die Bilder vom Börsenparkett in Frankfurt oder New York sind vertraute Illustrationen der Fernsehnachrichten,
• Rentenmärkte, die den Handel mit festverzinslichen Wertpapieren regeln,
• Währungsmärkte, die den Kauf und Verkauf von Währungen regulieren und damit die Wechselkurse bestimmen,
• Warenmärkte, zum Handel mit Waren wie Öl und Gold.

Albrecht Irle

2. Stochastische Grundlagen diskreter Märkte

Zusammenfassung

Wir betrachten einen Finanzmarkt mit g Finanzgütern, in dem zu endlich vielen Zeitpunkten Handel möglich sei. Diese Zeitpunkte seien mit t = 0, ... , n durchnumeriert. Ein solches Finanzmarktmodell werden wir als n-Perioden-Modell bezeichnen.

Albrecht Irle

3. Preistheorie im n-Perioden-Modell

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir die Preistheorie für n-Perioden-Modelle behandeln. Dazu werden die Begriffsbildungen, die wir im Ein-Perioden-Modell kennengelernt haben, auf den Fall endlich vieler Handelszeitpunkte erweitert.

Albrecht Irle

4. Amerikanische Claims und optimales Stoppen

Zusammenfassung

Wir wollen in diesem Kapitel Finanztitel betrachten, bei denen innerhalb eines festgelegten Zeitraums der Besitzer eines solchen Titels den Ausübungszeitpunkt frei wählen kann. Da die Entscheidung für die Ausübung zu einem Zeitpunkt i nur von bis dahin am Finanzmarkt zur Verfügung stehenden Informationen abhängen darf, werden wir Strategien des Titelbesitzers zur Wahl des Ausübungszeitpunkts als Stopzeiten in unserem Modell betrachten.

Albrecht Irle

5. Der Fundamentalsatz der Preistheorie

Zusammenfassung

Inhalt dieses Kapitels ist ein Beweis des Fundamentalsatzes der Preistheorie, dessen Aussage wir schon in Kapitel 3 vorgestellt haben und hier wiederholen wollen:

Albrecht Irle

6. Stochastische Grundlagen kontinuierlicher Märkte

Zusammenfassung

Die Finanzmarktrealität beschränkt sich nicht auf endlich viele diskrete Handelsperioden, sondern bietet ein Kontinuum von Handelszeitpunkten. Zur wirklichkeitsnahen Modellierung haben wir daher stochastische Prozesse mit kontinuierlichem Zeitparameter zu benutzen, wie sie schon in der Definition von stochastischen Prozessen in 2.4 eingeführt worden sind. Bei solchem Zeitparameter t ∈ [0, T], bzw. t ∈ [0, ∞) treten nun eine Fülle von neuartigen Phänomenen auf, die wir zu diskutieren haben, bevor wir eine angemessene Behandlung von Finanzmärkten mit kontinuierlichem Zeitparameter, kurz als kontinuierliche Finanzmärkte bezeichnet, durchführen können. Die Darstellung dieser von uns benötigten Begriffsbildungen und Resultate über stochastische Prozesse mit kontinuierlicher Zeit sind der Gegenstand dieses und des folgenden Kapitels.

Albrecht Irle

7. Der Wienerprozeß

Zusammenfassung

Da wir die Preisentwicklungen an kontinuierlichen Finanzmärkten durch stochastische Prozesse mit kontinuierlichem Zeitparameter zu beschreiben haben, stellt sich uns sofort die Frage, wie wir die konkrete Modellierung durchführen wollen, d. h. welche stochastischen Prozesse wir zur Modellbildung heranziehen wollen. Die derzeit gebräuchlichen Modelle basieren auf dem Wienerprozeß,der oft auch als Brownsche Bewegung bezeichnet wird. Inhalt des Kapitels ist die Beschreibung dieses stochastischen Prozesses und seiner für uns wesentlichen Eigenschaften.

Albrecht Irle

8. Das Black-Scholes-Modell

Zusammenfassung

Wir werden in diesem Kapitel das Black-Scholes-Modell behandeln. Aufstellung und Untersuchung dieses Modells führte in den bahnbrechenden Arbeiten von Black und Scholes (1973) und Merton (1973) zur Theorie der Bewertung von Finanzderivaten. Obwohl das Black-Scholes-Modell die realen Verhältnisse sicherlich nicht vollständig widerspiegelt, so hat es sich doch in der Praxis der Finanzmärkte bewährt und wird dort mit seinen vielfältigen Modifikationen und Weiterentwicklungen als Marktstandard eingesetzt.

Albrecht Irle

9. Das stochastische Integral

Zusammenfassung

In den folgenden drei Kapiteln werden die Grundbegriffe der stochastischen Integrationstheorie bereitgestellt, deren Kenntnis erst ein vertieftes Verständnis des Black-Scholes-Modells und seiner Verallgemeinerungen ermöglicht. Wir beginnen mit einigen Gedanken zur Motivation der sich anschließenden, recht aufwendigen theoretischen Überlegungen.

Albrecht Irle

10. Stochastische Integration und Lokalisation

Zusammenfassung

Wir werden in diesem Kapitel zunächst einige einfache Eigenschaften des stochastischen Integrals kennenlernen. Die Herleitung dieser Eigenschaften geschieht in der Regel so: Für elementare previsible Prozesse, für die das stochastische Integral ja pfadweise definiert worden ist, können wir die Gültigkeit direkt nachprüfen. Für allgemeine Integranden \(\mathop {{\text{ }}X}\limits_ \sim \in {L^2}\) benutzen wir die Approximation durch elementare previsible Prozesse gemäß 9.17 und führen einen Grenzübergang unter Benutzung der Isometrie-Eigenschaft des stochastischen Integrals aus. Wir werden dieses Vorgehen im folgenden als den üblichen Erweiterungsprozeß bezeichnen.

Albrecht Irle

11. Quadratische Variation und die Ito-Formel

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir die wichtigste Rechenregel für die stochastische Integration bzgl. eines stetigen lokalen Martingals kennenlernen, die als Ito-Formel bekannt ist. Es handelt sich dabei um die Übertragung der aus der elementaren Analysis wohlbekannten Formel für Riemann-Stieltjes- Integrale

$$f(F(x)) - f(F(a)) = \int_a^x {f'(F(y))dF(y)} $$

auf den Fall des stochastischen Integrals, wobei allerdings ein zusätzlicher Term auftreten wird. Zur Motivation betrachten wir die Funktion f (y) = y². Dann gilt im Riemann-Stieltjes-Fall

$$F{(x)^2} - F{(a)^2} = 2\int_a^x {F(y)} dF(y)$$

.

Albrecht Irle

12. Das Black-Scholes-Modell und stochastische Integration

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt geben wir eine vertiefte Darstellung des Black-Scholes-Modells unter Benutzung der Theorie der stochastischen Integration. Erinnert sei an die Beschreibung des Black-Scholes-Modells in Kapitel 8 als kontinuierliches Finanzmarktmodell mit endlichem Horizont T und 2 Finanzgütern.

Albrecht Irle

13. Märkte und stochastische Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Der Aktienkurs im Black-Scholes-Modell genügt der Gleichung

$$d{A_t} = \mu {A_t}dt + \sigma {A_t}d{W_{t.}}$$

Albrecht Irle

Backmatter