6. Flächen und Integrale über Flächen im ℝ³

Neben Kurven und räumlichen Bereichen spielen Flächen im \(\mathbb{R}^{3}\) bei vielen Ingenieuranwendungen eine wichtige Rolle. Wir diskutieren die Darstellung einer Fläche S im \(\mathbb{R}^{3}\) und berechnen den Flächeninhalt \(|S|\). Die Berechnung von \(|S|\) führen wir auf ein ebenes Bereichsintegral zurück, wie wir es bereits kennen. Ist auf der Fläche S eine skalare Funktion f gegeben, etwa eine Massedichte oder Ladungsdichte, so ergibt sich die Gesamtmasse oder die Gesamtladung mit dem Flächenintegral erster Art oder kurz: dem Flächenintegral der Funktion f auf S. In der Strömungsmechanik betrachtet man den Durchsatz eines strömenden Fluids durch eine Fläche, die entweder offen oder geschlossen sein kann. Bei der Formulierung von Erhaltungssätzen der Strömungsmechanik oder den Maxwell-Gleichungen spielen Integrale über Oberflächen von Körpern eine zentrale Rolle. Integriert man ein Vektorfeld \(\boldsymbol{v}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}\) über einer Fläche S, so hat man es mit einem Flächenintegral zweiter Art oder einem Flussintegral zu tun. Die Berechnung des Fluss des elektrischen bzw. des magnetischen Felds bezüglich einer Fläche \(S\subset\mathbb{R}^{3}\) sind bekannte Aufgaben aus der Elektrostatik und Elektrodynamik.