Galois-Theorie

Eine algebraische Körpererweiterung

$$ K \subset L $$

heißt

normal

, wenn jedes irreduzible Polynom aus

$$ K(X) $$

, welches in

$$ L $$

eine Nullstelle hat, in

$$ L[X] $$

bereits vollständig in lineare Faktoren zerfällt. Sind diese Faktoren stets paarweise verschieden, so ist die Erweiterung

$$ K \subset L $$

separabel

, und man spricht von einer

Galois-Erweiterung

. Hauptziel ist in diesem Kapitel die Herleitung des so genannten

Hauptsatzes der Galois-Theorie

, der für eine endliche Galois-Erweiterung

$$ K \subset L $$

deren Zwischenkörper in Beziehung setzt zu den Untergruppen der Galois-Gruppe

$$ {\rm{Gal}}(L/K) $$

, d. h. der Gruppe aller Automorphismen von

$$ L $$

, die

$$ K $$

invariant lassen. Eine Fülle von Anwendungen und Vertiefungen schließt sich an, darunter das Studium von Kreisteilungskörpern sowie zyklischen Erweiterungen als Vorbereitung zur Charakterisierung der Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen. Die Thematik wird abgerundet durch einige weiterführende optionale Abschnitte, in denen unendliche Galois-Erweiterungen, Kummer-Theorie, Witt-Vektoren und Galois- Descent behandelt werden.