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2024 | OriginalPaper | Buchkapitel

5. Gradientenbasiertes Lernen

verfasst von : Alexander Jung

Erschienen in: Maschinelles Lernen

Verlag: Springer Nature Singapore

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Zusammenfassung

Im Folgenden betrachten wir ML-Methoden, die einen parametrisierten Hypothesenraum verwenden \(\mathcal {H}\). Jede Hypothese \(h^{(\mathbf{w})} \in \mathcal {H}\) in diesem Raum ist durch einen spezifischen Gewichtsvektor charakterisiert \(\mathbf{w}\in \mathbb {R}^{n}\). Darüber hinaus betrachten wir ML-Methoden, die eine Verlustfunktion verwenden \(L({(\mathbf{x},y)},{h^{(\mathbf{w})}})\) so dass der durchschnittliche Verlust oder das empirische Risiko \( f(\mathbf{w}) :=(1/m) \sum _{i=1}^{m} L({(\mathbf{x}^{(i)},y^{(i)})},{h^{(\mathbf{w})}})\) reibungslos vom Gewichtsvektor abhängt \(\mathbf{w}\).

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Fußnoten
1
Eine Funktion \(f: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}\) wird als glatt bezeichnet, wenn sie stetige partielle Ableitungen aller Ordnungen hat. Insbesondere können wir den Gradienten \(\nabla f(\mathbf{w})\) für eine glatte Funktion \(f(\mathbf{w})\) an jedem Punkt \(\mathbf{w}\) definieren.
 
2
Das Problem, eine vollständige Eigenwertzerlegung von \(\mathbf{X}^{T} \mathbf{X}\) zu berechnen, hat im Wesentlichen die gleiche Komplexität wie die empirische Risikominimierung durch direktes Lösen von (4.​11), was wir durch die Verwendung des „günstigeren“ Algorithmus 1 vermeiden wollen.
 
Literatur
1.
I. Goodfellow, Y. Bengio, A. Courville, Deep Learning (MIT Press, Cambridge, 2016)
2.
W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3. Aufl. (McGraw-Hill, New York, 1976)
3.
Y. Nesterov, Introductory lectures on convex optimization, Applied Optimization, Bd. 87. (Kluwer Academic Publishers, Boston, MA, 2004)
4.
S. Oymak, B. Recht, M. Soltanolkotabi, Sharp time-data tradeoffs for linear inverse problems. IEEE Trans. Inf. Theory 64(6), 4129–4158 (2018). (June)MathSciNetCrossRef
5.
T. Hastie, R. Tibshirani, J. Friedman, The Elements of Statistical Learning Springer Series in Statistics. (Springer, New York, 2001)
6.
A. Jung, A fixed-point of view on gradient methods for big data. Frontiers in Applied Mathematics and Statistics 3, 1–11 (2017)CrossRef
7.
N. Murata, A statistical study on on-line learning, in On-line Learning in Neural Networks. Hrsg. by D. Saad (Cambridge University Press, New York, 1998), S. 63–92
8.
A. Krizhevsky, I. Sutskever, G. Hinton, Imagenet classification with deep convolutional neural network, in Neural Information Processing Systems (NIPS, 2012)
Metadaten
Titel
Gradientenbasiertes Lernen
verfasst von
Alexander Jung
Copyright-Jahr
2024
Verlag
Springer Nature Singapore
Buch
Maschinelles Lernen

Print ISBN: 978-981-9979-71-4

Electronic ISBN: 978-981-9979-72-1

Copyright-Jahr: 2024

DOI
https://doi.org/10.1007/978-981-99-7972-1_5

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