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Erschienen in:
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2016 | OriginalPaper | Buchkapitel

1. Grundbegriffe und Beispiele

verfasst von : Stefan Scherer

Erschienen in: Symmetrien und Gruppen in der Teilchenphysik

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

In diesem Kapitel sollen zunächst einfache Begriffe der Gruppentheorie eingeführt und anhand elementarer sowie physikalisch besonders relevanter Beispiele illustriert werden.

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Fußnoten
1
Genau genommen führt das \(1/r\)-Potenzial zu einer „zufälligen“ O(4)-Symmetrie [siehe z. B. Jones; 1990, Abschnitt 7.2].
 
2
Hierbei sind die beiden Elemente zu addieren, die Summe durch 2 zu dividieren und als Ergebnis der Rest zu bestimmen.
 
3
In der Literatur existiert auch die entgegengesetzte Konvention \((P_{a}P_{b})(i)=P_{b}(P_{a}(i))\). Unsere Definition orientiert sich an der Konvention für Transformationen in Definition 1.1.
 
4
Als Synonym für invertierbar wird auch regulär oder nichtsingulär verwendet.
 
5
In der Regel machen wir von der Einstein’schen Summenkonvention Gebrauch, gemäß der im Falle doppelt auftretender Indizes über deren Indexbereich summiert wird.
 
6
In der Regel schreiben wir für die Einheitsmatrix \({\mathbb{1}}\) ohne Kennzeichnung der Dimension des zugrunde liegenden Vektorraums. Nur in besonderen Fällen geben wir die Dimension als Tiefstellung an, etwa \({\mathbb{1}}_{3\times 3}\) für die (3,3)-Einheitsmatrix. Außerdem verwenden wir das Symbol \({\mathbb{1}}\) bisweilen auch für die Identität in einem unendlichdimensionalen Vektorraum.
 
7
In der Regel versehen wir Einheitsvektoren im \({\mathbb{R}}^{3}\) mit einem Dachsymbol.
 
8
Die Spur einer \((n,n)\)-Matrix A ist die Summe der Diagonalmatrixelemente: \(\text{Sp}(A)=\sum_{i=1}^{n}A_{ii}=A_{ii}\) mit Einstein’scher Summenkonvention.
 
9
Wenn wir für ein Ereignis x die Größe \(x^{2}=M(x,x)\) betrachten, dann werden wir vom verallgemeinerten Längenquadrat sprechen.
 
10
Da wir die Differenz der Koordinaten zweier Ereignisse betrachten, hebt sich der Translationsanteil heraus.
 
11
Zuweilen wird in der Literatur auch die Konvention \(z^{2}=-z_{0}^{2}+z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}\) verwendet, weshalb auch O(3,1) als Lorentz-Gruppe bezeichnet wird.
 
12
Genau genommen ist die Untergruppe isomorph zu SO(3). Deshalb unterscheiden wir zwischen den Symbolen \(\mathcal{R}\) und R.
 
13
Inertialsysteme zeichnen sich dadurch aus, dass ein Punktteilchen, auf das keine Kraft wirkt, sich entweder in Ruhe befindet oder eine geradlinige, gleichförmige Bewegung ausführt.
 
14
In der passiven Sichtweise entspricht dies der Bestimmung der Komponenten mithilfe eines gleichorientierten Inertialsystems, das sich mit der Geschwindigkeit \(\vec{V}=-c^{2}\vec{p}/E(\vec{p}\,)\) relativ zum Ruhesystem bewegt.
 
15
Um eine Verwechslung mit dem Winkel β zu vermeiden, verwenden wir hier das Symbol v für die Geschwindigkeit der speziellen Transformation in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit.
 
16
Wir verwenden die sog. natürlichen Einheiten mit \(\hbar=c=1\); siehe Anhang A.2.
 
17
Das Element c 2 entspricht einer Drehung um \(\hat{n}\) um \(240^{\circ}\), was äquivalent zu einer Drehung um \(-\hat{n}\) um \(120^{\circ}\) ist.
 
18
Hierbei verweist \((2\to 1)\) darauf, dass je zwei Elementen aus \(\mathrm{SL}(2,{\mathbb{C}})\) ein Bild in L\({}^{\uparrow}_{+}\) zugewiesen wird.
 
19
Hierbei handelt es sich um die Untergruppe derjenigen Matrizen aus \(\mathrm{GL}(2,{\mathbb{C}})\), deren Determinante den Betrag 1 hat.
 
20
Wegen\(A(t)\in\mathrm{SL}(2,{\mathbb{C}})\) gilt immer \(a(t)\neq 0\).
 
21
Genau genommen muss auch noch das Innere eines Halbkreises ausgeschlossen werden.
 
22
Wir verwenden die Beziehungen \(\cos(x\pm\pi)=-\cos(x)\) und \(\sin(x\pm\pi)=-\sin(x)\).
 
Literatur
Ashcroft, N.W., Mermin, N.D.: Solid State Physics. Saunders College, Philadelphia (1976)
Hamermesh, M.: Group Theory and its Application to Physical Problems. Addison-Wesley, Reading, Mass. (1962)
Heuser, H.: Lehrbuch der Analysis, Teil 1. Teubner, Stuttgart (1990)
Jones, H.F.: Groups, Representations and Physics. Adam Hilger, Bristol, New York (1980)
Kurzweil, H., Stellmacher, B.: Theorie der endlichen Gruppen, Eine Einführung. Springer, Berlin (1998)
Landau, L.D., Lifschitz, E.M.: Mechanik. Akademie-Verlag, Berlin (1981)
Lindner, A.: Drehimpulse in der Quantenmechanik. Teubner, Stuttgart (1984)
Scheck, F.: Theoretische Physik 1, Mechanik, Von den Newton’schen Gesetzen zum deterministischen Chaos. Springer, Berlin (2007)
Wüstholz, G.: Algebra. Vieweg, Wiesbaden (2004)
Metadaten
Titel
Grundbegriffe und Beispiele
verfasst von
Stefan Scherer
Copyright-Jahr
2016
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Symmetrien und Gruppen in der Teilchenphysik

Print ISBN: 978-3-662-47733-5

Electronic ISBN: 978-3-662-47734-2

Copyright-Jahr: 2016

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-47734-2_1

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