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2016 | OriginalPaper | Buchkapitel

2. Darstellungen von Gruppen

verfasst von : Stefan Scherer

Erschienen in: Symmetrien und Gruppen in der Teilchenphysik

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Darstellungen sind Realisierungen von Gruppen in Form bijektiver, linearer Operatoren auf \(\mathbb{K}\)-Vektorräumen, wobei wir uns hier als Körper auf die reellen Zahlen, \({\mathbb{K}}={\mathbb{R}}\), oder die komplexen Zahlen, \({\mathbb{K}}={\mathbb{C}}\), beschränken. Darstellungen sind insbesondere in der Quantenphysik von zentraler Bedeutung, wo physikalische Zustände durch Elemente eines Hilbert-Raumes beschrieben werden. Symmetrien werden bei der Klassifikation der möglichen Zustände eine tragende Rolle spielen. In diesem Kapitel widmen wir uns einer Einführung in die Darstellungstheorie, wobei wir uns zumeist auf endliche Gruppen konzentrieren werden. Zentrale Aussagen lassen sich auch auf kompakte Lie-Gruppen anwenden, die allerdings erst im nächsten Kapitel diskutiert werden.

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Fußnoten
1
Hierbei steht „auf V“ für \(A:V\to V\).
 
2
Das Konzept natürlicher Einheiten wird in Anhang A.2 diskutiert.
 
3
Genau genommen ist H sogar invariant unter O(3).
 
4
Bei der Betrachtung infinitesimaler Ausdrücke vernachlässigen wir grundsätzlich Terme von zweiter Ordnung in kleinen Größen.
 
5
Da die Differenzialgleichung für die Radialwellenfunktion reell ist, entfällt die Komplexkonjugation der ersten Radialwellenfunktion.
 
6
Ist \(U\subset V\) eine Teilmenge, so heißt \(V\backslash U:=\{v\in V|v\not\in U\}\) Differenzmenge oder Komplement.
 
7
Der Beweis von Satz 2.1 wurde nur für endlichdimensionale Hilbert-Räume geführt. Die Aussage gilt aber auch für separable Hilbert-Räume wie den \(L^{2}({\mathbb{R}}^{3})\), die über abzählbare Orthonormalbasen verfügen.
 
8
Wir vernachlässigen im Augenblick sowohl den Spin der Elektronen als auch die Berücksichtigung des Pauli-Prinzips mittels einer geeigneten Antisymmetrisierung.
 
9
Die Schreibweise erinnert an ein Skalarprodukt. Allerdings gilt zu beachten, dass Charaktere einer Darstellung keine Vektoren im eigentlichen Sinne sind, weil die Multiplikation mit einem Skalar nicht wieder einen Charakter liefert.
 
Literatur
Chisholm, C.D.H.: Group Theoretical Techniques in Quantum Chemistry. Academic Press, London (1976)
Dirac, P.A.M.: The Principles of Quantum Mechanics. Clarendon Press, Oxford (1989)
Grawert, G.: Quantenmechanik. Akademische Verlagsgesellschaft, Wiesbaden (1977)
Hamermesh, M.: Group Theory and its Application to Physical Problems. Addison-Wesley, Reading, Mass. (1962)
Lindner, A.: Drehimpulse in der Quantenmechanik. Teubner, Stuttgart (1984)
Lipkin, H.J.: Lie Groups for Pedestrians. Dover Publications, Mineola, New York (2002)
Scheck, F.: Theoretische Physik 2, Nichtrelativistische Quantentheorie, Vom Wasserstoffatom zu den Vielteilchensystemen. Springer, Berlin (2006)
Woodgate, G.K.: Elementary Atomic Structure. Clarendon Press, Oxford (1983)
Metadaten
Titel
Darstellungen von Gruppen
verfasst von
Stefan Scherer
Copyright-Jahr
2016
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Symmetrien und Gruppen in der Teilchenphysik

Print ISBN: 978-3-662-47733-5

Electronic ISBN: 978-3-662-47734-2

Copyright-Jahr: 2016

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-47734-2_2

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