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Erschienen in:
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2016 | OriginalPaper | Buchkapitel

3. Kontinuierliche Gruppen: Lie-Gruppen und Lie-Algebren

verfasst von : Stefan Scherer

Erschienen in: Symmetrien und Gruppen in der Teilchenphysik

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Die zentralen Aussagen des vorigen Kapitels zur Darstellungstheorie haben sich in der Regel auf endliche Gruppen beschränkt. In diesem Kapitel werden wir uns mit kontinuierlichen Gruppen beschäftigen und das Konzept der Lie-Gruppe kennenlernen. Mithilfe des Verfahrens der invarianten Integration werden wir sehen, dass zahlreiche Ergebnisse zu den endlichdimensionalen Darstellungen im Falle kompakter Lie-Gruppen weiterhin Gültigkeit besitzen. Als Nächstes gehen wir auf den Begriff der Lie-Algebra ein. Schließlich werden wir einige wichtige Resultate zur Verbindung zwischen Lie-Algebren und Lie-Gruppen zusammenstellen.

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Fußnoten
1
Für zwei komplexe \((n,n)\)-Matrizen \(A=(a_{ij})\) und \(B=(b_{ij})\) lautet das Frobenius-Skalarprodukt \(\langle A,B\rangle=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}^{\ast}b_{ij}=\mathrm{Sp}(A^{\dagger}B)\). Die induzierte Norm lautet \(\|A\|=\sqrt{\mathrm{Sp}(A^{\dagger}A)}\).
 
2
Genau genommen muss auch noch angegeben werden, ob die Determinante den Wert 1 oder −1 besitzt, d. h. zu welchem Zweig die Matrix gehört.
 
3
Mithilfe des Beispiels 3.2 können wir uns vorstellen, dass sich für die klassischen Lie-Gruppen eine Umgebung eines Gruppenelements innerhalb der Menge der entsprechenden Matrizen mittels einer Umgebung im Parameterraum beschreiben lässt.
 
4
Es ist üblich, Lie-Gruppen mit Großbuchstaben abzukürzen, etwa SO(3) für die spezielle orthogonale Gruppe in drei Dimensionen, und die zugehörigen Lie-Algebren mit Kleinbuchstaben, hier also mit so(3).
 
Literatur
Balachandran, A. P., Trahern, C. G.: Lectures on Group Theory for Physicists. Bibliopolis, Napoli (1984)
Chisholm, C.D.H.: Group Theoretical Techniques in Quantum Chemistry. Academic Press, London (1976)
Georgi, H.: Lie Algebras in Particle Physics. From Isospin to Unified Theories. Westview Press, Boulder, Colo. (1999)
Gilmore, R.: Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications. Wiley, New York (1974)
Grosche, G., et al.: Teubner-Taschenbuch der Mathematik, Teil II. 7. Aufl., vollständig überarbeitete und wesentlich erweiterte Neufassung der 6. Auflage der „Ergänzenden Kapitel zum Taschenbuch der Mathematik von I.N. Bronstein und K.A. Semendjajew“. Teubner, Stuttgart, Leipzig (1995)
Hamermesh, M.: Group Theory and Its Application to Physical Problems. Addison-Wesley, Reading, Mass. (1962)
Jones, H.F.: Groups, Representations and Physics. Adam Hilger, Bristol, New York (1980)
Metadaten
Titel
Kontinuierliche Gruppen: Lie-Gruppen und Lie-Algebren
verfasst von
Stefan Scherer
Copyright-Jahr
2016
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Symmetrien und Gruppen in der Teilchenphysik

Print ISBN: 978-3-662-47733-5

Electronic ISBN: 978-3-662-47734-2

Copyright-Jahr: 2016

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-47734-2_3

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