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2016 | OriginalPaper | Buchkapitel

4. Die Gruppen SO(3) und SU(2)

verfasst von : Stefan Scherer

Erschienen in: Symmetrien und Gruppen in der Teilchenphysik

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

In Abschn. 3.4 haben wir zentrale Aussagen über den Zusammenhang zwischen Lie-Gruppen und Lie-Algebren zusammengestellt. In diesem Kapitel beschäftigen wir uns nun mit zwei kompakten Lie-Gruppen, die insbesondere im mikroskopischen Bereich von zentraler Bedeutung sind, nämlich den Gruppen SO(3) und SU(2). Wir diskutieren die Vertauschungsrelationen der Lie-Algebra so(3) und wenden uns anschließend den irreduziblen Darstellungen der Gruppen SO(3) und SU(2) sowie der Clebsch-Gordan-Zerlegung des inneren Tensorprodukts zu. Im Zusammenhang mit der Kopplung von Drehimpulsen lernen wir die Clebsch-Gordan-Koeffizienten kennen. Eine effiziente Berechnung von Matrixelementen wird durch das Wigner-Eckart-Theorem ermöglicht.

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Fußnoten
1
Die Verwendung hermitescher Operatoren führt zu reellen Eigenwerten. Somit resultiert die Exponentialabbildung \(U=\exp(-\mathrm{i}\,\vec{\omega}\cdot\vec{J})\) mit reellem \(\vec{\omega}\) in einem unitären Operator.
 
2
Der Nullvektor eines Vektorraums ist nach Definition nie Eigenvektor.
 
3
Die Menge aller Eigenwerte eines linearen Operators A wird als Spektrum von A bezeichnet.
 
4
Das Abspalten des Faktors \(1/\sqrt{2j^{\prime}+1}\) ist eine Frage der Konvention.
 
5
Die Emission eines Lichtquants wird durch den Anteil proportional zu \(a^{\ast}\left(\vec{k},\lambda\right)\) beschrieben.
 
6
In Heisenberg; 1932 wurde im Kontext des Hamilton-Operators eines Atomkerns eine neue (Quanten-)Zahl ρ eingeführt, mit den Werten +1 für das Proton und −1 für das Neutron.
 
7
Die Tiefstellung „st“ bezeichnet die starke Wechselwirkung.
 
8
Wegen (4.31) geht die Reihenfolge der Kopplung in das Vorzeichen des Clebsch-Gordan-Koeffizienten ein. Wir verwenden hier dieselbe Reihenfolge wie in den Ket-Zuständen, d. h. \(I_{1}=1\) und \(I_{2}=\frac{1}{2}\).
 
9
Die Bezeichnung Ladungsaustausch bezieht sich darauf, dass die positive Ladung des Pions im Anfangszustand auf die positive Ladung des Protons im Endzustand transferiert wurde.
 
10
Eine ausführlichere Auseinandersetzung mit der Beschreibung von Symmetrien im Rahmen relativistischer Quantenfeldtheorien wird in Kap. 6 erfolgen.
 
Literatur
Cottingham, W.N.: The neutron proton mass difference and electron scattering experiments. Ann. Phys. 25, 424–432 (1963) ADSCrossRef
Eckart, C.: The application of group theory to the quantum dynamics of monatomic systems. Rev. Mod. Phys. 2, 305–380 (1930) ADSCrossRefMATH
Edmonds, A.R.: Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton University Press, Princeton, New Jersey (1974) MATH
Ericson, T., Weise, W.: Pions and Nuclei. Clarendon Press, Oxford (1988)
Gasser, J., Hoferichter, M., Leutwyler, H., Rusetsky, A.: Cottingham formula and nucleon polarizabilities. Eur. Phys. J. C 75, 375 (2015) ADSCrossRef
Grawert, G.: Quantenmechanik. Akademische Verlagsgesellschaft, Wiesbaden (1977)
Jones, H.F.: Groups, Representations and Physics. Adam Hilger, Bristol, New York (1990) CrossRefMATH
Lindner, A.: Drehimpulse in der Quantenmechanik. Teubner, Stuttgart (1984) CrossRef
Mayer-Kuckuk, T.: Kernphysik, Eine Einführung. Teubner, Stuttgart (1984)
Miller, G.A., van Oers, W.H.T.: Charge independence and charge symmetry. In: Haxton, W.C., Henley, E.M. (Hrsg.) Symmetries and Fundamental Interactions in Nuclei, S. 127–167. World Scientific, Singapur (1995) CrossRef
Rusetsky, A.: Isospin Symmetry Breaking. PoS CD 09, 071 (2009)
Wigner, E.: Einige Folgerungen aus der Schrödingerschen Theorie für die Termstrukturen. Z. Phys. 43, 624–652 (1927) ADSMATH
Woodgate, G.K.: Elementary Atomic Structure. Clarendon Press, Oxford (1983)
Metadaten
Titel
Die Gruppen SO(3) und SU(2)
verfasst von
Stefan Scherer
Copyright-Jahr
2016
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Symmetrien und Gruppen in der Teilchenphysik

Print ISBN: 978-3-662-47733-5

Electronic ISBN: 978-3-662-47734-2

Copyright-Jahr: 2016

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-47734-2_4

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    Bildnachweise