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Über dieses Buch

Das Buch beinhaltet eine strukturierte Sammlung der vollständigen Lösungen aller wesentlichen axialsymmetrischen Kontaktprobleme. Es werden Lösungen für klassische Profile wie die Kugel, den Kegel oder den flachen zylindrischen Stempel angegeben, aber auch für eine Vielzahl weiterer technisch relevanter Formen, z.B. den Kegelstumpf, den Zylinder mit abgerundeten Rändern, die verschlissene Kugel, Profile mit Welligkeit, Hohlzylinder usw. Behandelt werden Normal-, Tangential- und Torsionskontakte -, sowohl adhäsionsfreie als auch adhäsionsbehaftete. Als Medien kommen elastisch isotrope, transversal isotrope, viskoelastische sowie funktionale Gradientenwerkstoffe zur Sprache. Die Lösungen der Kontaktprobleme umfassen neben den Zusammenhängen zwischen den makroskopischen Kraft- und Verschiebungsgrößen sowie der Kontaktkonfiguration auch die Spannungs- und Verschiebungsfelder an der Oberfläche und gegebenenfalls innerhalb des Halbraum-Mediums. Lösungen werden immer mit der jeweils einfachsten zur Verfügung stehenden Methode gewonnen – meistens mit der Methode der Dimensionsreduktion oder Ansätzen zur Rückführung des jeweiligen Kontaktproblems auf das nicht-adhäsive Normalkontaktproblem.Die ZielgruppenDas Buch wendet sich an Berechnungsingenieure in der Industrie wie z.B. Maschinenbau, Reifenindustrie, Automobilindustrie, Polymer- und Elastomerhersteller. Zugleich dient es als Nachschlagewerk in Forschung und Lehre.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einleitung

Als Beginn der klassischen Kontaktmechanik werden im Allgemeinen die Arbeiten von Hertz (1882) und Boussinesq (1885) betrachtet. Die in diesen Arbeiten gefundenen Lösungen für die Druckverteilungen unter einer Kugel und unter einem flachen zylindrischen Stempel, genießen auch einen entsprechenden Bekanntheitsgrad. Auf der anderen Seite gibt es sehr viele solcher exakten Lösungen – auch mit einer ähnlichen technischen Relevanz wie die des Hertzschen Kontaktproblems – die aber teilweise nur einem sehr engen Kreis von Spezialisten überhaupt bekannt sind. Ein Grund dafür liegt darin, dass viele einzelne kontaktmechanische Lösungen zwar als Artikel in einschlägigen Journalen publiziert aber nicht in einer geschlossenen Monografie gemeinsam dargestellt sind. Das „Handbuch der Kontaktmechanik“ dokumentiert die in der Geschichte der Kontaktmechanik gefundenen Lösungen in systematischer Form. Bei der Auswahl der darzustellenden Probleme ließen wir uns einerseits von der technischen Relevanz des jeweiligen Problems und andererseits von der logischen Vollständigkeit leiten.

Valentin L. Popov, Markus Heß, Emanuel Willert

2. Normalkontakt ohne Adhäsion

Wir beginnen unsere Betrachtung von Kontaktphänomenen mit dem Normalkontaktproblem. Ohne Berührung gibt es keine anderen Kontaktphänomene, keine Reibung und keinen Verschleiß. In diesem Sinne kann man den Normalkontakt als eine Grundvoraussetzung für alle anderen tribologischen Phänomene betrachten. Auch die Lösung des adhäsiven Kontaktproblems, des Tangentialkontaktproblems und des Kontaktes zwischen Elastomeren wird auf das nicht-adhäsive Normalkontaktproblem zurückgeführt. Insofern bildet das nicht-adhäsive Normalkontaktproblem eine fundamentale Grundlage der Kontaktmechanik. Dabei ist zu bemerken, dass es im Allgemeinen selbst bei einem Normalkontakt eine relative Bewegung von Oberflächen in tangentialer Richtung geben kann – aufgrund der unterschiedlichen Querkontraktion kontaktierender Körper. Dadurch können auch beim Normalkontaktproblem Reibungskräfte in den Grenzflächen ins Spiel kommen. Die zwei bekanntesten und am ausführlichsten untersuchten Grenzfälle sind dabei zum einen das reibungsfreie Normalkontaktproblem und zum anderen das Kontaktproblem mit vollständigem Haften im Kontakt. Diese beiden Grenzfälle werden im Kapitel ausführlich dokumentiert.

Valentin L. Popov, Markus Heß, Emanuel Willert

3. Normalkontakt mit Adhäsion

Zwischen beliebigen elektrisch neutralen Körpern gibt es relativ schwache und schnell mit dem Abstand zwischen den Oberflächen abfallende Wechselwirkungskräfte, die in den meisten Fällen zur gegenseitigen Anziehung der Körper führen und als Adhäsionskräfte bekannt sind. Adhäsionskräfte spielen eine wesentliche Rolle in vielen technischen Anwendungen. Es sind z.B. die Adhäsionskräfte, die für die Wirkung von Klebern verantwortlich sind. Die wohl bekannteste Theorie von adhäsiven Kontakten von Johnson, Kendall und Roberts (JKR) (1971) basiert auf der Annahme, dass die Reichweite der Adhäsionskräfte viel kleiner ist als jede andere charakteristische Länge des Kontaktes. In dieser Näherung kann das adhäsive Kontaktproblem entweder durch die Rückführung auf das nicht adhäsive Kontaktproblem oder durch direkte Anwendung der Methode der Dimensionsreduktion gelöst werden. Beide Lösungswege werden in diesem Kapitel ausführlich dargestellt. In Mikrosystemen kann es passieren, dass die Reichweite der adhäsiven Kräfte vergleichbar mit der kleinsten charakteristischen Länge der Kontaktaufgabe wird. Auch dieser Fall wird im Kapitel unter Benutzung des einfachen Dugdale-Potentials behandelt.

Valentin L. Popov, Markus Heß, Emanuel Willert

4. Tangentialkontakt

In diesem Kapitel werden Kontakte betrachtet, die sowohl normal zur Kontaktfläche als auch tangential dazu belastet werden. Obwohl die Belastung in diesem Fall nicht rotationssymmetrisch ist, bleiben die Spannungen und Verschiebungen in der Kontaktebene (mindestens näherungsweise) rotationssymmetrisch verteilt, weswegen wir auch in diesem Fall von rotationssymmetrischen Kontaktproblemen sprechen. Werden zwei Körper mit gekrümmten Oberflächen in Normalkontakt gebracht und anschließend relativ zu einander in tangentialer Richtung verschoben, so bleiben die Körper im Allgemeinen in einem Teil des Kontaktgebiets aneinander haften, während sie in anderen Teilen relativ zueinander gleiten. Cattaneo (1938) und unabhängig davon Mindlin (1949) haben das entsprechende Kontaktproblem unter vereinfachenden Annahmen gelöst. In der Cattaneo-Mindlin-Näherung lassen sich Tangentialkontaktprobleme auf entsprechende Normalkontaktprobleme zurückführen. In dem Kapitel werden Tangentialkontakte mittels der Rückführung auf das Normalkontaktproblem katalogisiert. Bei komplexen Beanspruchungsgeschichten kann eine direkte Anwendung der Methode der Dimensionsreduktion vorteilhaft werden, welche ebenfalls erläutert wird.

Valentin L. Popov, Markus Heß, Emanuel Willert

5. Torsionskontakt

In diesem Kapitel widmen wir uns Kontakten zwischen einem starren rotationssymmetrischen Indenter und einem elastischen Halbraum, die durch ein tordierendes Moment um die z-Achse in Normalenrichtung des Halbraums belastet werden. Wird ein Kontakt zunächst mit einer konstanten Normalkraft und anschließend durch ein anwachsend aufgebrachtes Torsionsmoment belastet, so wird sich ein sich vom Rand des Kontaktes ausbreitendes Gleitgebiet einstellen. Im Gegensatz zu Tangentialkontakten gibt es für Torsionskontakte kein Theorem, das die Lösung des Problems auf die Lösung des reibungsfreien Normalkontaktes zurückführt. Trotzdem wurde von Jäger (1995) eine allgemeine Lösung für beliebige rotationssymmetrische Indenter gefunden, die unter anderem in diesem Kapitel dokumentiert wird.

Valentin L. Popov, Markus Heß, Emanuel Willert

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6. Verschleiß

Gemeinsam mit dem Phänomen der Ermüdung bildet Verschleiß einen zentralen Aspekt bei der Lebensdauerabschätzung jedes technischen Systems. Die mikro- und mesoskopischen Mechanismen, die dem makroskopisch beobachtbaren Phänomen „Verschleiß“ zugrunde liegen, sind äußerst vielfältig und reichen von dem abrasiven oder adhäsiven Herauslösen von Material aus der Festkörperoberfläche über Wiedereinbindung von bereits verschlissenem Material bis hin zu Oxidation und chemischer oder mechanischer Durchmischung der beteiligten Oberflächen. Entsprechend schwierig ist die Formulierung eines allgemeinen Verschleißgesetzes. Analog zu dem Amontons-Coulomb-Gesetz der trockenen Reibung wird daher in der Regel auf einen elementaren, linearen Zusammenhang zurückgegriffen, der von Reye (1860), Archard und Hirst (1956) sowie Khrushchov und Babichev (1960) eingeführt wurde. Viele Ergebnisse dieses Kapitels hängen jedoch nicht von der genauen Form des Verschleißgesetzes ab. Wir nehmen lediglich an, dass der Verschleiß ausreichend kontinuierlich stattfindet, sodass keine Verschleißteilchen herausgelöst werden, deren lineare Abmessungen mit den charakteristischen Längen des Kontaktproblems vergleichbar sind. In diesem Kapitel werden wir zuerst den Verschleiß durch vollständiges Gleiten der beteiligten Oberflächen und anschließend den Verschleiß durch oszillierende Beanspruchung (Fretting) untersuchen.

Valentin L. Popov, Markus Heß, Emanuel Willert

7. Transversal isotrope Probleme

Ein transversal isotropes Medium ist ein Medium, welches eine bevorzugte Richtung hat und in der Ebene senkrecht zu dieser Richtung isotrop ist. Unter kristallinen Körpern gehören zu dieser Klasse alle Körper des hexagonalen Kristallsystems: In der Ebene senkrecht zu der hexagonalen Achse sind sie elastisch isotrop. Auch ein Faserverbund mit der Anordnung von Fasern parallel zu einer Richtung stellt ein transversal isotropes Medium dar, welches in der Ebene senkrecht zum Verlauf der Fasern isotrop ist. Weitere Beispiele liefern außerdem viele biologische Medien. Ein lineares transversal isotropes Medium wird durch 5 elastische Konstanten vollständig bestimmt. Die Fundamentallösung für transversal isotrope Medien wurde von Michell (1900) gefunden. Er hat gezeigt, dass die Normalverschiebung der Oberfläche eines transversal isotropen elastischen Halbraums unter der Wirkung einer im Koordinatenursprung wirkenden Kraft durch dieselbe Gleichung gegeben wird wie bei einem isotropen elastischen Kontinuum; es muss lediglich eine geänderte Definition des effektiven elastischen Moduls benutzt werden. Es besteht daher keine Notwendigkeit, alle Normalkontaktprobleme für transversal isotrope Medien gesondert zu betrachten. Es wird hier lediglich auf die Ergebnisse der Kapitel 2 bis 4 hingewiesen: Diese sind auch für transversal isotrope Medien unmittelbar gültig.

Valentin L. Popov, Markus Heß, Emanuel Willert

8. Viskoelastische Werkstoffe

Gummi und andere Elastomere sind stark deformierbar, passen sich deshalb gut an Oberflächen an, weisen große Reibbeiwerte in vielen Materialpaarungen (Gummi-Gummi, Gummi-Asphalt, etc.) auf und sind wasser- und hitzebeständig. Elastomere werden daher vielfältig eingesetzt, unter anderem für Reifen, Riemen, Kabel, selbstklebende Schichten und vieles andere. Die wichtigsten Eigenschaften von Elastomeren sind: (1) ein extrem kleiner Elastizitätsmodul (ca. 1 bis 10 MPa, d.h. 4 bis 5 Größenordnungen kleiner als bei „normalen Festkörpern“), (2) eine extrem hohe Deformierbarkeit und (3) innere Energiedissipation (Viskosität) bei Deformation.Dieses Kapitel ist Kontaktproblemen zwischen einem starren, rotationssymmetrischen Indenter und einem homogenen, isotropen, linear-viskoelastischen Halbraum gewidmet. Es werden zunächst einige allgemeine Informationen und Definitionen zur Beschreibung und Charakterisierung der linear-viskoelastischen Stoffe gegeben. Die folgenden Abschnitte widmen sich der expliziten Lösung von axial-symmetrischen Kontaktproblemen mit der Methode der Dimensionsreduktion (MDR) und der Methode der Funktionalgleichungen von Lee und Radok. Diese Lösungen beziehen sich auf inkompressible Elastomere. Die Behandlung kompressibler Normalkontakte wird gesondert erläutert und abschließend der Fretting-Verschleiß von Elastomeren dargestellt.

Valentin L. Popov, Markus Heß, Emanuel Willert

9. Kontaktprobleme funktionaler Gradientenmaterialien

Funktionale Gradientenmaterialien (FGM) sind Werkstoffe, deren materielle Zusammensetzung oder Mikrostruktur nach einer vordefinierten Gesetzmäßigkeit kontinuierlich über das Volumen variieren. Auf diese Weise können Werkstoffeigenschaften optimal und zum Teil unabhängig voneinander eingestellt werden. Ein kontrollierter Gradient des elastischen Moduls führt zu einem größeren Widerstand gegenüber Kontakt- und Reibungsschäden. So können Hertzsche Kegelbrüche aufgrund einer Verringerung der maximalen Zugspannungen in der Oberfläche unterdrückt werden. Im Maschinenbau werden z.B. Schneidwerkzeuge, Zahnräder, Teile von Wälzlagern oder Turbinenschaufeln aus FGM gefertigt. In der Biomedizin insbesondere der Endoprothetik sollen Funktionale Gradientenmaterialien in künstlichen Knie- und Hüftgelenken deren Biokompatibilität verbessern und den Verschleiß minimieren, um so die Lebensdauer der Endoprothesen und damit die Lebensqualität zu erhöhen.In diesem Kapitel werden das adhäsive und nicht adhäsive Normalkontaktproblem sowie das Tangentialkontaktproblem für eine Vielzahl von Kontaktformen dokumentiert bzw. gelöst; dabei wird ausschließlich ein elastisches Medium betrachtet, dessen Elastizitätsmodul eine Potenzfunktion der Tiefenkoordinate ist. Es werden sowohl der Fall eines mit der Tiefe abnehmenden als auch mit der Tiefe zunehmenden Elastizitätsmoduls untersucht.

Valentin L. Popov, Markus Heß, Emanuel Willert

10. Kontakte ohne kompaktes Kontaktgebiet

Wir kehren in diesem Kapitel wieder zu Kontaktproblemen mit einem ideal-elastischen, homogenen, isotropen Halbraum zurück. Allerdings ist das Kontaktgebiet nicht kompakt, sondern ringförmig. Das einfachste Beispiel für ein solches Problem ist der Kontakt zwischen einem flachen, hohlzylindrischen Stempel und dem Halbraum. Selbst für dieses einfachste Beispiel existiert allerdings nur eine äußerst komplizierte exakte Lösung. Trotzdem gibt es für diese Klasse von Problemen eine ganze Reihe von analytischen Lösungsansätzen, die in diesem Kapitel dokumentiert werden sollen. Diese Ansätze beziehen sich auf den reibungsfreien Normalkontakt mit und ohne Adhäsion und den reinen Torsionskontakt ohne Gleiten.

Valentin L. Popov, Markus Heß, Emanuel Willert

11. Anhang

Viele Kontaktprobleme mit rotationssymmetrischen Körpern können durch Rückführung auf das nicht-adhäsive reibungsfreie Normalkontaktproblem gelöst werden. So wird das Problem eines adhäsiven Normalkontaktes auf die Lösung für einen nicht-adhäsiven Normalkontakt zurückgeführt. Das Tangentialkontaktproblem in der Cattaneo-Mindlin-Näherung kann mittels des Superpositionsprinzips von Cattaneo-Mindlin-Jäger-Ciavarella ebenfalls auf das reibungsfreie Normalkontaktproblem zurückgeführt werden. Kontakte mit viskoelastischen Körpern werden durch die Methode von Lee und Radok auf den entsprechenden nicht-adhäsiven elastischen Normalkontakt zurückgeführt.Der nicht-adhäsive, elastische Normalkontakt von rotationssymmetrischen Körpern kann wiederum auf eine Superposition aus Indentierungen mit flachen zylindrischen Stempeln verschiedener Radien reduziert werden. Das Problem der Indentierung mit einem flachen zylindrischen Stempel kann nicht weiter auf ein einfacheres Problem zurückgeführt und muss zunächst einmal tatsächlich gelöst werden. In diesem Anhang führen wir diesen Grundschritt durch und beschreiben den nachfolgenden Aufbau des Gebäudes der Kontaktmechanik auf der Basis der MDR.Im abschließenden Paragraphen wird die historische (erste) Lösung des Kontaktproblems für axial-symmetrische Profile nach Föppl (1941) und Schubert (1942) gezeigt.

Valentin L. Popov, Markus Heß, Emanuel Willert

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