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12.09.2020 | Ausgabe 4/2020

# Intersecting families in $$\left( {\begin{array}{c}{[m]}\\ \ell \end{array}}\right) \cup \left( {\begin{array}{c}{[n]}\\ k\end{array}}\right)$$

Zeitschrift:
Journal of Combinatorial Optimization > Ausgabe 4/2020
Autoren:
Jun Wang, Huajun Zhang
Wichtige Hinweise

## Publisher's Note

Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.

## Abstract

Let $$m,n,\ell$$ and k be positive integers with $$\ell \ne k$$, $$n>2k$$, $$m<2\ell$$ and $$n=\max \{m,n\}\ge \ell +k$$. If $$\mathcal {F}$$ is an intersecting family in $$\left( {\begin{array}{c}[m]\\ \ell \end{array}}\right) \cup \left( {\begin{array}{c}[n]\\ k\end{array}}\right)$$, then
\begin{aligned} |\mathcal {F}|\le \max \left\{ \left( {\begin{array}{c}m\\ \ell \end{array}}\right) , \left( {\begin{array}{c}m-1\\ \ell -1\end{array}}\right) +\left( {\begin{array}{c}n-1\\ k-1\end{array}}\right) \right\} . \end{aligned}
Unless $$n=\ell +k\ge m$$, equality holds if and only if $$\left( {\begin{array}{c}m-1\\ \ell \end{array}}\right) \ge \left( {\begin{array}{c}n-1\\ k-1\end{array}}\right)$$ and $$\mathcal {F}=\left( {\begin{array}{c}[m]\\ \ell \end{array}}\right)$$ or $$\left( {\begin{array}{c}m-1\\ \ell \end{array}}\right) \le \left( {\begin{array}{c}n-1\\ k-1\end{array}}\right)$$ and $$\mathcal {F}$$ consists of all members of $$\left( {\begin{array}{c}[m]\\ \ell \end{array}}\right) \cup \left( {\begin{array}{c}[n]\\ k\end{array}}\right)$$ that contain a fixed element of $$[m]\cap [n]$$.

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Literatur
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