Konvergenz von Markovketten

Wir betrachten eine Markovkette

X

mit invarianter Verteilung

$$\pi$$

und untersuchen unter welchen Bedingungen die Verteilung von

X

n

für

n

-> ∞ gegen

$$\pi$$

konvergiert. Im Wesentlichen ist dafür notwendig und hinreichend, dass der Zustandsraum der Kette nicht in Unterräume zerfällt, die

• von der Kette nicht verlasen werden,

• oder von der Kette beispielsweise nur für ungerade

n

beziehungsweise nur für gerade

n

besucht werden. Im ersten Fall wäre die Kette reduzibel, im zweiten hingegen periodisch.

Wir untersuchen Periodizität von Ketten im ersten Abschnitt und zeigen im zweiten den Konvergenzsatz. Im dritten Abschnitt beschäftigen wir uns mit Anwendungen des Konvergenzsatzes für Computersimulationen mit der so genannten Markovketten Monte Carlo Methode. Im letzten Abschnitt beschreiben wir die Geschwindigkeit der Konvergenz gegen das Gleichgewicht mit Hilfe des Spektrums der Übergangsmatrix.