Linear-implizite Runge-Kutta-Methoden und ihre Anwendung

Für die Untersuchung von Diskretisierungsmethoden zur Lösung von Anfangswertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungssysteme sind Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen, Aussagen über die Sensitivität der Lösung gegenüber Störungen der Anfangsdaten und Stabilitätsaussagen von grundlegender Bedeutung. Wir stellen daher in diesem einführenden Kapitel einige für unsere Zwecke relevante Resultate dar, wobei klassische Ergebnisse teilweise ohne Beweise angegeben werden (vgl. dazu z.B. Kamke [1945], Walter [1985], Werner/Arndt [1986], Heuser [1989]).

Dieses Kapitel gibt eine Übersicht über Runge-Kutta-Methoden und ihre Stabilitätseigenschaften, die für das Verständnis der nachfolgenden Kapitel erforderlich ist. Auf Fragen der Implementierung impliziter RK-Methoden sowie der Schrittweitensteuerung wird eingegangen. Für die Beweise zahlreicher klassischer Resultate verweisen wir auf die angegebene Literatur, während eine Reihe neuerer Ergebnisse bewiesen wird.

Zahlreiche Probleme aus den verschiedenen Anwendungsgebieten der Mathematik führen bei ihrer mathematischen Modellierung auf Anfangswertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen, für deren numerische Behandlung explizite Diskretisierungsmethoden, z.B. explizite RK-Methoden (vgl. Abschnitt 2.1), nicht geeignet sind. Diese Systeme besitzen eine spezielle Eigenschaft, die als Steifheit bezeichnet wird. Zur effektiven numerischen Integration derartiger Systeme werden Diskretisierungsmethoden benötigt, die besonders günstige Stabilitätseigenschaften (vgl. Abschnitt 2.7) aufweisen.

In diesem Kapitel untersuchen wir linear-implizite RK-Methoden. Es werden die bewährten Klassen der adaptiven RK-Methoden und der Rosenbrock-Typ-Methoden vorgestellt. Im Mittelpunkt der Betrachtungen stehen Stabilitätsuntersuchungen und Fragen der B-Konsistenz und B-Konvergenz.

Dieses Kapitel befaßt sich mit Partitionierungsstrategien für Diskretisierungsmethoden gewöhnlicher Differentialgleichungen. Im Mittelpunkt stehen dabei die linear-impliziten Runge-Kutta-Methoden. Zwei Wege der Software-Enwicklung (intervallweise Partitionierung, Partitionierung in Teilsystemen) werden dargestellt. Die Software soll dem unerfahrenen Nutzer die ‘a priori’ Entscheidung zwischen steifen und nichtsteifen Komponenten abnehmen. Der erfahrene Nutzer möchte durch eine problemspezifische Unterteilung des Differentialgleichungssystems Rechenzeit einsparen. Für beide Wege stellen wir verschiedene Lösungsstrategien vor. Ferner untersuchen wir das Fehlerverhalten von linear-impliziten Runge-Kutta-Methoden bei Anwendung auf die Klasse singulär gestörter Systeme.

In diesem Kapitel betrachten wir die Anwendung linear-impliziter Runge-Kutta-Methoden auf Anfangswertaufgaben semi-expliziter Algebro-Differentialgleichungen vom Index 1. Es werden einerseits Diskretisierungsmethoden untersucht, die als Grenzfall partitionierter, linear-impliziter RK-Methoden für singulär gestörte Systeme entstehen. Andererseits kombinieren wir Diskretisierungsmethoden für gewöhnliche Differentialgleichungen mit einem vereinfachten Newton-Verfahren zur Lösung der algebraischen Gleichungen. Im Mittelpunkt dieser Untersuchungen stehen Fragen der Konsistenz und Konvergenz der Diskretisierungsmethoden. Gegenüber gewöhnlichen Differentialgleichungen ist bei linear-impliziten RK-Methoden häufig eine Reduktion der Konvergenzordnung zu beobachten (vgl. hierzu auch Abschnitt 4.5.4).

Ein einheitlicher Weg zur Konstruktion und Analyse numerischer Methoden für Anfangs-Randwertprobleme partieller Differentialgleichungen besteht in der Linienmethode. Durch eine Ortsdiskretisierung wird das vorgelegte instationäre Feldproblem in ein Anfangswertproblem gewöhnlicher Differentialgleichungen (semidiskretes Problem) überführt, das anschließend mit einem geeigneten Zeitintegrationsverfahren (ODE-Solver) numerisch gelöst wird.

Dieses Kapitel befaßt sich mit linear-impliziten Runge-KuttaInterpolationsmethoden zur numerischen Lösung steifer retardierter Anfangswertprobleme mit konstanter Nacheilung. Im Mittelpunkt der Untersuchungen stehen LIRK-Methoden mit Lagrange- und Hermite-Interpolation für das retardierte Argument. Den Schwerpunkt bilden Stabilitätsbetrachtungen bez. der Barwellschen Testdifferentialgleichung, d.h., es werden notwendige und hinreichende Bedingungen angegeben, wann eine derartige Diskretisierungsmethode P(β)-stabil ist. Die Eigenschaft der P(β)-Stabilität ist wesentlich für die numerische Behandlung steifer retardierter Differentialgleichungen. Durch Kombination einer geeigneten LIRK-Interpolationsmethode mit der zugeordneten expliziten RK-Interpolationsmethode wird ein Algorithmus angegeben, der automatisch entscheidet, ob das retardierte Anfangswertproblem im betrachteten Intervall steif ist, und davon ausgehend die explizite oder die linear-implizite Runge-Kutta-Interpolationsmethode auswählt.