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Erschienen in:
2022 | OriginalPaper | Buchkapitel
65. Lineare Differentialgleichungssysteme I
verfasst von : Christian Karpfinger
Erschienen in: Höhere Mathematik in Rezepten
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
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Zusammenfassung
Wir betrachten explizite lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung, Hierbei ist A(t) eine \(n \times n\)-Matrix mit den Komponentenfunktionen \(a_{ij}(t)\) und \(\boldsymbol{s}(t)\) eine Kurve, also ein \(n\times 1\)-Vektor, die Störfunktion. Gesucht ist die Menge aller Lösungskurven \({\boldsymbol{x}}= {\boldsymbol{x}}(t)\). In dieser Allgemeinheit kann das DGL-System aber nicht gelöst werden. Nur in speziellen Fällen ist es möglich, die Gesamtheit aller Lösungen explizit anzugeben. Wir betrachten in diesem ersten Kapitel zu linearen DGL-Systemen den Fall einer konstanten und diagonalisierbaren Matrix \(A \in \mathbb {R}^{n \times n}\) und einer Störfunktion, die nicht stört, nämlich \(\boldsymbol{s}(t) = \boldsymbol{0}\). Mithilfe der Eigenwerte und Eigenvektoren von A wird es leicht möglich sein, diesen Fall vollständig zu lösen. Das wesentliche Hilfsmittel hierzu ist die Exponentialfunktion für Matrizen, die auch im allgemeineren Fall, den wir im nächsten Kapitel behandeln, Grundlage sein wird.
$$\begin{aligned} \dot{\boldsymbol{x}}(t) = A(t) \, {\boldsymbol{x}}(t) + \boldsymbol{s}(t). \end{aligned}$$