Wege und Irrwege — Eine Geschichte der Mathematik

Die beiden ältesten Kulturen des Altertums, die uns so viel Material hinterlassen haben, daß wir mit einiger Sicherheit ihre mathematischen Kenntnisse analysieren können, waren die babylonische und die ägyptische Kultur.

In den griechischen Städten Kleinasiens entstand im 6. Jahrhundert v.Chr. eine Form des abstrakten Denkens, die zur Quelle für die gesamte abendländische Wissenschaft werden sollte. Sowohl die Anfänge der Philosophie als auch die der deduktiven Wissenschaft haben sich im kleinasiatischen Milet entwickelt, einer mächtigen Handelsstadt, die Schnittpunkt zwischen Orient und Abendland und zugleich ein bedeutendes intellektuelles Zentrum war. Wenn man älteren Darstellungen folgt, könnte man glauben, daß das rationale Denken plötzlich dem Nichts entsprungen sei und daß die ionischen Philosophen einen Weg eröffnet haben, dem die Wissenschaft seither nicht umhin konnte zu folgen.¹) Neuere Arbeiten, wie beispielsweise die von J.-P. Vernant und M. Détienne, auf die wir uns hier stützen, haben gezeigt, daß die ionische Philosophie einen mythischen und rituellen Ursprung hatte; sie hat sich erst nach und nach von Magie und Religion befreit. Die frühe griechische Wissenschaft stellte Fragen nach den Anfängen der Welt und versuchte, Antworten auf die Grundfrage menschlichen Denkens zu formulieren: Wie konnte unser Universum aus dem Chaos entstehen? Die ersten Versuche einer Antwort durch die Mileter übertrugen die Erklärungen, die die alten Mythologien für die wahrnehmbare Welt gegeben hatten, auf eine abstrakte Ebene.

Ursprünglich unterschied sich die Algebra nur wenig von der ihrerseits noch schwach entwickelten Arithmetik. Lange bevor der Name Algebra auftauchte, existierten schon einige einfache Rezepte, die ansatzweise eine Technik zur Lösung praktischer Probleme beinhalteten.

Die Entstehung der Geometrie scheint direkt mit den Bedürfnissen des täglichen Lebens verbunden gewesen zu sein: Herstellung und Verzierung von Gegenständen, Errichten von Gebäuden und Grabmälern, Flächenberechnung von Feldern usw. Das läßt sich jedenfalls aus den uns verfügbaren ältesten Dokumenten schließen (Keilschrifttafeln aus Babylon, ägyptische Papyri).

Die Wurzeln der Infinitesimalrechnung liegen in den intuitiven Vorstellungen, die die Griechen von Begriffen wie Kontinuum, mathematisches Unendliches und Grenzwert hatten, sowie in deren Schwierigkeiten, diese Begriffe explizit zu formulieren. Alle drei Begriffe wurden erst im 19. Jahrhundert korrekt definiert, als die Mathematiker, in dem Wunsch die erreichten Fortschritte zu systematisieren, sich wieder den Grundlagen der Mathematik zuwandten, um das Gebäude der Mathematik auf ein sicheres Fundament zu stellen.

Die Idee einer Relation zwischen zwei Größen ist so alt wie die Mathematik selbst. Wie aber sah der Weg aus, der von dieser vagen Vorstellung zu unserem mengentheoretisch geprägten Begriff einer Funktion oder einer Abbildung geführt hat? Letztere ist charakterisiert dadurch, daß sie jedem Element einer Menge ein Element einer anderen Menge zuordnet. Und wie sahen die verschiedenen Formen aus, die der Funktionsbegriff angenommen hat, jener Begriff, der seinerseits die Entwicklung der Analysis beherrscht hat?

Für Gymnasiasten und Studenten des ausgehenden 20. Jahrhunderts bilden die mengentheoretischen Begriffe und die einfachen algebraischen Strukturen (wie Gruppe, Ring, Körper und Vektorraum) einen Bestandteil des seit Beginn der Sekundarstufe II gelehrten mathematischen Stoffes. Dennoch sind diese Strukturen, von denen einige absolut fundamental und in allen Bereichen der Mathematik anzutreffen sind, nur sehr langsam im Verlauf des 19. Jahrhunderts in den Vordergrund getreten, und zwar im Zuge der Untersuchungen recht komplexer Probleme (komplex verglichen mit denen, die der Leser gewöhnt ist).