Analytische Funktionen in der Zahlentheorie

Es bezeichne n ↦ f(n) eine reelle, zahlentheoretische Funktion, das heißt f(n) durchläuft für n = 1, 2,… eine Folge reeller Zahlen. Wir betrachten Exponential-summen der Art

Ausgangspunkt dieses Kapitels ist das berühmte quadratische Reziprozitätsgesetz der elementaren Zahlentheorie, das als bekannt vorausgesetzt wird. Es wurde von L. Euler in den Jahren 1744–1746 auf Grund riesigen Zahlenmaterials gefunden und von A. M. Legendre 1785 wieder entdeckt. Der erste vollständige Beweis aber gelang C. F. Gauss 1796 mit Hilfe eines komplizierten Induktionschlusses. Um die Natur des Gesetzes besser verstehen zu können, arbeiteten C. F. Gauss selbst und viele andere Mathematiker zahlreiche weitere Beweise aus. Die Entwicklung neuer Ideen kulminierte innerhalb der algebraischen Zahlentheorie im allgemeinen Reziprozitätsgesetz von E. Artin. Es würde den Rahmen dieses Buches sprengen, näher darauf einzugehen.

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit Fragen, ob und wie die Ideen des zweiten Kapitels auf höhere Probleme übertragen werden können. Unser Ziel besteht darin, die Reihendarstellung der Jacobischen Thetafunktionen zu ersetzen durch unendliche Reihen der Art und die Produktdarstellung der Dedekindschen Etafunktion zu ersetzen durch unendliche Produkte der Art

Das Anliegen dieses Kapitels besteht darin, Ergebnisse und Methoden des ersten Kapitels zur Abschätzung einfacher Exponentialsummen auf zweifache Exponentialsummen zu übertragen. Hierin stellt D einen kompakten, ebenen Bereich dar.

Erheben wir die Reihendarstellung der Jacobischen Thetafunktion aus Kapitel 2 in die p-te Potenz mit p> 1, so erhalten wir mit eine Reihenentwicklung, wobei als Potenz von qeine Quadratsumme erscheint. In einem ersten Schritt soll diese Quadratsumme durch eine positiv definite quadratische Form ersetzt werden. Geometrisch heißt das, das wir den Spezialfall der Kugel durch den allgemeinen Fall des Ellipsoids (t= (t₁, t₂,…, t _p ,) ∈ ℝ ^p ) ersetzen wollen. Der Kugel ist dann einfach die p-te Potenz der Thetafunktion, dem Ellipsoid dagegen eine durch eine unendliche Reihe (n= (n₁, n₂,…, n _p ) ∈ ℤ ^p ) definierte Funktion zugeordnet. Wir werden zeigen, daß auch diese Funktion, entsprechend der Thetafunktion, einer Funktionalgleichung genügt. Wir werden Konsequenzen für weitere analytische Funktionen daraus ziehen.