Finite Elemente in der Statik und Dynamik

Die Methode der Finiten Elemente (FEM) kann als ein numerisches Berechnungsverfahren zur Lösung von Problemen der mathematischen Physik angesehen werden. Der Übergriff mathematische Physik soll die Allgemeingültigkeit der Methode verdeutlichen. Zu den Problemen der mathematischen Physik, die heute in großem Umfang mit Hilfe der FEM gelöst werden, gehören in erster Linie Die Gleichungen, die die Probleme der mathematischen Physik beschreiben, sind im Falle zwei- und dreidimensionaler Probleme partielle Differentialgleichungen. Die FEM kann daher auch als Methode zur Lösung derartiger Differentialgleichungen benutzt werden. Bei der Anwendung auf Probleme der Strukturmechanik besteht der Grundgedanke der FEM darin, daß die gesamte Struktur (Tragwerke) in eine Vielzahl kleiner Elemente zerlegt wird, deren mechanisches Verhalten entweder annäherungsweise oder auch exakt bekannt ist

Der Grundgedanke der FE-Methode sei an einem einfachen Fachwerk (Bild 2–1) erläutert. Für dieses seien die Verschiebungen der Knotenpunkte und die Normalkräfte unter Wirkung von statischen äußeren Lasten gesucht. Ein Element wird hier von einem Zug-Druckstab mit gelenkigen Enden gebildet. Sein elastomechanisches Verhalten ist gekennzeichnet durch die Beziehung zwischen den Kräften f₁, f₂ und den Verschiebungen u₁, u₂ an den Stabenden. Die Verschiebungen nennt man auch Freiheitsgrade (FHG) des Stabelementes. Wir bemerken ferner, daß die Freiheitsgrade in Richtung der Stabachse angetragen sind. Die Stabachse stellt das sogenannte lokale Koordinatensystem dar. Außerdem definieren wir ein globales xy-Koordinatensystem, das die Richtung der Freiheitsgrade für das Gesamtsystem angibt. In dem lokalen Koordinatensystem können nun die Kraft-Verschiebungsbeziehungen nach den elementaren Beziehungen der Mechanik aufgestellt werden. Wenn man den Stab am linken Ende festhält (d.h. u₁ = 0) und eine Kraft f₂ anbringt (Bild 2–1c), ergibt sich für die Verschiebung u₂ .

Die Grundgleichungen werden hier für den zweidimensionalen Fall abgeleitet. Die Erweiterungen auf den dreidimensionalen Fall werden formal angegeben. Alle Sonderformen von Tragwerkselementen, zu denen unsere technisch wichtigen Elemente wie z.B. Stab und Scheibe gehören, ergeben sich aus Vereinfachungen dieser Grundgleichungen durch entsprechende Annahmen über Kraft- und Verschiebungsverlauf. Es werden nur die Grundgleichungen abgeleitet, ohne daß wir auf ihre Lösung eingehen wollen. Die Grundgleichungen sind gekoppelte partielle Differentialgleichungen, deren direkte Lösung im allgemeinen nicht möglich ist und auch nicht in diesen Rahmen gehört.

Die mathematische Begründung der FEM erfolgt hier auf der Grundlage des Energieprinzips δΠ = 0 in Verbindung mit dem Ritzsehen Verfahren. Es muß also zunächst ein angenähertes Energiefunktional für ein Gesamttragwerk aufgebaut werden. Diese Betrachtungsweise hat den Vorteil, daß man die Konvergenzeigenschaften des Ritzschen Verfahrens und die Bedingungen dafür auch für die FEM angeben kann. Das ist wichtig zu wissen, da die Ansatzfunktionen manchmal exakt sein können, z.B. als Lösung der zugehörigen Eulerschen Differentialgleichung. Damit kann auch die gesamte FEM-Lösung als exakte Lösung angesehen werden (z.B. bei Balkentragwerken). In anderen Fällen (z.B. bei Scheiben) stellen die Ansatzfunktionen nur Näherungen dar, auf deren Güte man zu achten hat. Eine wichtige Grundidee bei der FEM ist die Überlegung, an Stelle der unbekannten Ansatzkoeffizienten a_i, die keine direkte anschauliche Bedeutung haben, die Verschiebungsfreiheitsgrade U einer beliebig großen Zahl von Punkten auf dem Tragwerk als Ansatzkoeffizienten zu wählen, wie wir dies bereits im Kap.3.6.2 mit Hilfe der Gln.(3.45a-c) und im Kap.3.6.4.3 mit Hilfe der Gln.(3.76a-d) getan hatten. Am Beispiel des allgemeinen dreidimensionalen Tragwerks nach Bild 4–1a lautet ein solcher Ansatz in Form der Gl.(3.45a): .

In der diskretisierten Form des Prinzips der virtuellen Verschiebungen und des dazu äquivalenten Energieprinzips hatten wir in den Kapiteln zuvor die grundsätzliche Methodik zur Ableitung der Kraft- Verschiebungsbeziehungen F _g = K U sowohl für die Elemente, als auch für die Gesamtstruktur kennengelernt. Die zentrale Rolle spielte dabei der in den Gln.(3.47) angegebene Zusammenhang zwischen den Verzerrungen und den Knotenverschiebungen, ε = DU, mit der Verzerrungs-Verschiebungs- Transformationsmatrix \( D = d\varphi_g^T \). Bei Annahme geeigneter Nährungsansätze für die Verschiebungsfelder ergaben sich in den Gl.(3.49) die Rechenvorschriften zur Generierung der Steifigkeitsmatrizen und der Knotenlastvektoren. Die Annahmen bei der Wahl der Verschiebungsansätze bestimmen das strukturmechanische Verhalten der Elemente. Wenn die Verschiebungsansätze exakt sind in dem Sinne, daß sie die Lösung der zugrunde liegende Eulersche Differentialgleichung bilden, dann sind die daraus abgeleiteten Kraft- Verschiebungsbeziehungen natürlich auch exakt, andernfalls stellen sie eine Näherung dar, deren Qualität zu untersuchen ist. In den folgenden Kapiteln werden nun die technisch wichtigsten Elemente behandelt.

Im Kap.3.6.2 wurde gezeigt, daß verteilte Lasten und Temperaturänderungen durch äquivalente, auf die Knoten einwirkende Einzellasten, ersetzt werden können als Folge der Diskretisierung der Versehiebungsfelder mit Hilfe der Formfunktionen. Die äquivalenten Knotenlastvektoren konnten interpretiert werden als Reaktionskräfte, die an den Knoten entstehen, wenn man die Knotenpunkte als starr gelagert annimmt. Angeschrieben für ein einzelnes Element (e) liefern die Gln.(3.49c-d) die Ausdrücke

Bisher galten alle Betrachtungen für den Fall statischer Lasten. Wir wollen nun auch dynamische, d.h. zeitveränderliche Lasten zulassen. Diese treten bei realen technischen Konstruktionen in vielfältiger Form auf. Man klassifiziert zunächst den zeitlichen Verlauf der Lasten (in der Strukturdynamik meist “Erregung” genannt) in periodisch (Sonderfall: harmonisch = sinusförmig) und nicht-periodisch. Typische harmonische Erregungen entstehen durch die Unwucht eines Rotors oder die Wirbelablösung an einem zylindrischen Baukörper unter Windbelastung. Auch als Testkraftverlauf zum versuchstechnischen Nachweis der Funktionstüchtigkeit von Bauteilen und Geräten z.B. in der Luft- und Raumfahrttechnik wird die harmonische Erregung verwendet. Zu den nichtperiodischen Erregungen zählen impulsartige Belastungen, wie sie bei Ramm- und Schmiedevorgängen, bei Explosionen, bei Windböen, etc. auftreten können, und länger andauernde Belastungen, wie sie durch Erdbeben, Wind oder durch Überfahrvorgänge bei Brücken und Fahrleitungen entstehen. Die genannten Erregungsarten können allein durch die Angabe der Größe und des zeitlichen Verlaufs der äußeren Kräfte charakterisiert werden. Man bezeichnet diese Art der Erregung auch als Fremderregung im Gegensatz zu der sogenannten Selbsterregung (auch Parametererregung), die dadurch gekennzeichnet ist, daß sich bestimmte Systemparameter des Tragwerks (Steifigkeit, Dämpfung, Masse) mit der Zeit ändern. (z.B. bei Rotoren, Flattererscheinungen bei Flugzeugen). Im Rahmen dieses Buches werden nur die Fremderregungen behandelt.

Ein Blick auf das Tragwerk im Bild 7–12 zeigt, daß selbst bei diesem einfachen Beispiel bereits 6 Freiheitsgrade zu berücksichtigen sind, wenn die Fußpunkte eingespannt sind. Die Lösung der zugehörigen sechs gekoppelten Bewegungsgieichungen ist “per Hand” praktisch nicht mehr durchführbar. In der Praxis werden manchmal mehrere hundert, bei komplexen Tragwerken tausende Freiheitsgrade mit entsprechend großen Bewegungsgleichungen erforderlich, zu deren Lösung effiziente numerische Verfahren zur Verfügung stehen. In beiden Fällen, sowohl für die “per Hand” Rechnung als auch für die Computerrechnung, ist es jedoch von großer Wichtigkeit, alle Verfahren auszunutzen, die zur Reduktion der Zahl der Freiheitsgrade führen. Zum ersten, um eine “per Hand”-Berechnung überhaupt erst zu ermöglichen, und zum zweiten, um Rechenzeiten einzusparen. Eine Reduktion der Systemmatrizen ist immer dann möglich, wenn es zwischen den Freiheitsgraden des Gesamttragwerks lineare Abhängigkeiten gibt. Wir können dann den Gesamtverschiebungsvektor U in zwei Anteile aufspalten, die unabhängigen Freiheitsgrade U_u (Index u) und die abhängigen Freiheitsgrade U_s (Index s). Entsprechend teilt man den Gesamtkraftvektor F auf.

In den folgenden Kapiteln werden wir uns mit den wichtigsten Verfahren zur Lösung der Bewegungsgleichungen beschäftigen. Dabei wollen wir uns allerdings auf die Darstellung der analytischen Verfahren beschränken, da die Behandlung der numerischen Verfahren den Rahmen dieses Buches sprengen würde.

Wir hatten mit den Gln.(9.19) und (9.30) die Orthogonalitätstransformationen für das ungedämpfte und das gedämpfte System kennengelernt, mit deren Hilfe es möglich ist, die Systemmatrizen zu diagonalisieren. Diese Eigenschaften nutzen wir nun, um die Bewegungsgleichungen zu entkoppeln. Wir beginnen mit der gedämpften Bewegungsgleichung in Zustandsform. Dazu bringen wir zunächst die Bewegungsgleichung (7.13) der Ordnung N, jetzt unter Berücksichtigung eines äußeren Erregerkraftvektors F(t), auf die Zustandsform der Ordnung 2N mit = Zustandsvektor und = Erregerkraftvektor in Zustandsform.

Unter der dynamischen Antwort eines Tragwerks verstehen wir zunächst die Verschiebungen U(t), die Geschwindigkeiten U̇(t) und die Beschleunigungen Ü(t), d.h. Lösungen der Bewegungsgleichungen für eine gegebene dynamische Anregung, sei es durch gegebene Anfangsverschiebungen U₀ oder Anfangsgeschwindigkeiten U̇₀ (freie Schwingungen) oder durch zeitveränderliche Kräfte F(t). Mit Kenntnis der Antwort U(t) ist es dann möglich, die Knotenpunktskräfte und daraus die Spannungen als Funktion der Zeit in jedem Element zu berechnen. Die Arten der dynamischen Anregung können in drei Gruppen eingeteilt werden:

Auslauftrichter eines Getreidesilos

Dieses Beispiel zeigt die statische Berechnung des Auslauftrichters eines Getreidesilos, die mit Hilfe des FEM-Programms MSC-NASTRAN durchgeführt wurde. Bild 12–1 zeigt die Systemskizze mit den Belastungsannahmen und den Materialkennwerten. Da der Auslauftrichter doppeltsymmetrisch ist, braucht im Prinzip nur ein Viertel der Struktur idealisiert zu werden. Hier wurde aus Gründen der Übersichtlichkeit der Ergebnis- Plots die ganze Struktur modelliert. Sowohl die trapezförmigen Trichterwände als auch die unteren Versteifungsflansche wurden mit ebenen Schalenelementen modelliert. Das FEM- Model besteht aus 960 ebenen Schalenelementen und führt zu 1120 Knoten mit 6480 Freiheitsgraden. Das verformte Tragwerk ist in Bild 12–2a dargestellt. Der schattierte Plot im Bild 12–2b zeigt die Kontur des Verlaufs des Biegemomentes m_xx in lokalen Elementkoordinaten. Die Verläufe der Biegemomente m_xx und m_yy in den Schnitten 1–1 und 2–2 sind in den Bild 12–2c dargestellt.