2018 | OriginalPaper | Buchkapitel
3. Tensoranalysis
verfasst von : Harald Klingbeil
Erschienen in: Elektromagnetische Feldtheorie für Fortgeschrittene
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
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Zusammenfassung
Dieses Kapitel enthält eine ausführliche Einführung in den Tensorkalkül. Hierzu wird zunächst untersucht, wie sich verschiedene Differentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten darstellen lassen. Dabei werden zahlreiche Abkürzungen für die Indexschreibweise eingeführt, die nach und nach zum Ricci-Kalkül, einer weit verbreiteten Form des Tensorkalküls, führen. Eine der wichtigsten Eigenschaften von Tensorausdrücken, nämlich ihr Transformationsverhalten, wird in den Vordergrund gerückt. Mithilfe der kovarianten Ableitung werden die Differentialoperatoren der Vektoranalysis für Tensoren höherer Stufe verallgemeinert. Sowohl die Indexschreibweise, bei der von der Einstein’schen Summationskonvention Gebrauch gemacht wird, als auch die komponentenfreie Darstellung werden ausführlich diskutiert. Die Bedeutung von Tensorgleichungen für eine kovariante Darstellung grundlegender physikalischer Gesetze wird erläutert. Im Hinblick auf die Anwendung im Bereich der speziellen Relativitätstheorie wird die orthogonale Transformation eingeführt. Weil die Tensoranalysis in diesem Kapitel Schritt für Schritt auf Basis eines euklidischen Raumes aufgebaut wird, wird in einem mathematischen Ausblick erläutert, was sich ändert, wenn (pseudo)-Riemann’sche Räume zugrunde gelegt werden.