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2020 | Buch

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Angewandte Mathematik 1 mit MATLAB und Julia

Ein anwendungs- und beispielorientierter Einstieg für technische Studiengänge

verfasst von: Prof. Dr. Daniel Bättig

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch vermittelt die Grundlagen der höheren Mathematik für ingenieurwissenschaftliche und andere MINT-Studiengänge. Im Vordergrund stehen dabei Analysis, Differenzialrechnung und lineare Algebra als klassische Themen des ersten Semesters. Diese werden anhand von Beispielen und Anwendungen aus Technik, Physik und Chemie vermittelt. Zudem werden systematisch die Programmiersprachen MATLAB und Julia verwendet, um Modelle zu implementieren und mathematische Probleme zu lösen. Zahlreiche Übungsaufgaben runden jedes Kapitel ab, Lösungen dazu sind online verfügbar. Für Lehrende sind darüber hinaus auch Präsentationsfolien zum Buch über die Verlagsseite abrufbar.

Das Buch richtet sich an Studierende, die ein Bachelorstudium in angewandten Wissenschaften an einer Hochschule beginnen. Studierenden an technischen Universitäten kann das Buch dank der vielen Beispiele helfen, einführende Kurse in Analysis und linearer Algebra besser zu verstehen. Verschiedene Kapitel zu Zahlensystemen, Vektoren, Funktionen und zur Differenzialrechnung können auch für Kurse an Gymnasien benutzt werden.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Zahlensysteme: Mathematik und Computer

Zusammenfassung

Physikalische, technische und wirtschaftliche Größen wie etwa 1,0 kg, 25,4 \(^\circ \)C, 2500 W, 95,50 CHF oder 125 Sitzplätze sind allgegenwärtig. Dargestellt werden sie mit natürlichen Zahlen, mit rationalen Zahlen und mit Gleitkommas von reellen Zahlen. Das Kapitel erläutert diese Begriffe. Es gibt Hinweise auf Schwierigkeiten, wenn man solche Zahlen mit dem Computer verarbeitet. Zum Schluss wird diskutiert, wie sich Ungenauigkeiten von Zahlen über Rechnungen fortpflanzen und wie Resultate grob überprüft werden können.

Daniel Bättig

Kapitel 2. Vektoren und Programmieren von Schleifen

Zusammenfassung

Nicht alle messbaren Größen können ausschließlich mit Zahlen dargestellt werden. Vektorielle Größen, wie Kräfte und Geschwindigkeiten, sind nötig, um Bewegungen von Körpern zu modellieren. Aber auch zehn Messwerte können einfacher mit Vektoren, als mit einer Liste von 10 Variablen quantifiziert werden. Was Vektoren sind, wird in diesem Kapitel vorgestellt. Zudem wird erklärt, wie man Vektoren addiert, mit Zahlen multipliziert und Skalarprodukte bildet.

Mit Computern können repetitive Aufgaben durchgeführt werden. Man benutzt dazu Schleifen, die mit Hilfe von Vektoren indiziert werden können. Dies wird im letzten Abschnitt des Kapitels erläutert.

Daniel Bättig

Kapitel 3. Vektoren, Geometrie und Mechanik

Zusammenfassung

Vektoren mit zwei oder drei Komponenten können geometrisch in einem Koordinatensystem visualisiert werden. Damit können Längen, Winkel, Flächen und Volumen berechnet werden. Man arbeitet dazu mit dem Skalar- und dem Kreuzprodukt. Auch Rechnungen für feste Körper in der Statik führt man mit Vektoren mit zwei oder drei Komponenten aus. Dies wird in diesem Kapitel illustriert.

Daniel Bättig

Kapitel 4. Lineare Gleichungssysteme und Matrizes

Zusammenfassung

Um Berechnungen zu starren Körpern zu handhaben, Temperaturen zu prognostizieren und um Roboter zu steuern, müssen viele Parameter und viele Gleichungen betrachtet werden. Kontrollierbar werden solche Aufgaben, wenn sie mit linearen Gleichungen modelliert werden können. Lineare Gleichungen benötigt man in der Mechanik, wenn man Gleichgewichtsbedingungen für Körper aufstellt. In der Elektrotechnik arbeitet man mit ihnen, wenn Spannungen und Ströme berechnet werden müssen. Was lineare Gleichungssysteme sind und wie sie mit Computeralgorithmen gelöst werden können, steht im Mittelpunkt dieses Kapitels.

Daniel Bättig

Kapitel 5. Input-Output: Funktionen

Zusammenfassung

Wie hängt die Unfallwahrscheinlichkeit von Personen, die Fußgängerstreifen benutzen, von örtlichen, zeitlichen, geschlechts- und altersspezifischen Faktoren ab? Wie groß ist das Volumen eines Kegels in Abhängigkeit seiner Grundfläche und seiner Höhe? Um solche Fragen zu beantworten, benutzt man Funktionen. Was Funktionen sind und wie sie mathematisch dargestellt werden, wird in diesem Kapitel vorgestellt. Zudem wird illustriert, wie man Funktionen in Programmiersprachen implementiert.

Daniel Bättig

Kapitel 6. Spezielle mathematische Funktionen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden Funktionen vorgestellt, die in den Ingenieurwissenschaften oft benutzt werden. Diskutiert werden zuerst Polynomfunktionen. Sie sind beliebt, um Punkte zu interpolieren. Anschließend werden rationale Funktionen definiert. Sie werden in der Regel- und Steuerungstechnik gebraucht, um übertragene Signale zu analysieren. Am Schluss des Kapitels werden die Exponential- und die Logarithmusfunktion vorgestellt. Mit diesen Funktionen modelliert man Wachstumsphänomene, dynamische Systeme, elektrische Netzwerke und Schwingungen.

Daniel Bättig

Kapitel 7. Überbestimmte Systeme, affine Funktionen und die Methode der kleinsten Quadrate

Zusammenfassung

Im Kap. 4 sind lineare Gleichungssysteme analysiert worden, die gleich viele Gleichungen wie Unbekannte haben. In Anwendungen hat man aber oft mehr Gleichungen als Unbekannte. Dies sind überbestimmte Systeme, die keine Lösungen haben. Mit der Methode der kleinsten Quadrate können solche Systeme analysiert werden. Die Methode der kleinsten Quadrate wird vielseitig benutzt. Sie spielt eine wichtige Rolle in der Statistik, um Regressionsmodelle zu fixieren. Die Methode wird in diesem Kapitel beispielhaft bei affinen Regressionsmodellen angewandt, um unbekannte Parameter zu „fitten“.

Daniel Bättig

Kapitel 8. Die Ableitung einer Funktion

Zusammenfassung

Das Ziel dieses Kapitels ist es, die Ableitung einer Funktion zu erläutern und zu definieren. Die Ableitung ist der Grundbaustein der Differenzialrechnung. Sie quantifiziert, wie Funktionswerte auf Änderungen der Argumente reagieren. Mit der Ableitung lassen sich Ladung und Strom in einem Netzwerk, Energie und Leistung sowie Orts- und Geschwindigkeitsfunktion miteinander verbinden. Es werden zudem verschiedene Rechenregeln vorgestellt, die helfen, Ableitungen zu berechnen.

Daniel Bättig

Kapitel 9. Anwendungen der Ableitung

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden Anwendungen der Ableitung vorgestellt. Mit der Ableitung kann man berechnen, wie sich zufällige Fehler in Gleichungen fortpflanzen. Die Ableitung beschreibt außerdem Beschleunigungen von Fahrzeugen und Ströme in elektrischen Netzwerken. Die kritische Energie ist ein Begriff, der in der Optik und in der Dynamik eine Rolle spielt. Erklärt wird der Begriff mit der Ableitung.

Daniel Bättig

Backmatter

Titel: Angewandte Mathematik 1 mit MATLAB und Julia
verfasst von: Prof. Dr. Daniel Bättig
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-60952-1
Print ISBN: 978-3-662-60951-4
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-60952-1

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