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Mathematics and Financial Economics

Erschienen in:

01.09.2014

Remarks on existence and uniqueness of Cournot–Nash equilibria in the non-potential case

verfasst von: A. Blanchet, G. Carlier

Erschienen in: Mathematics and Financial Economics | Ausgabe 4/2014

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Abstract

This article is devoted to various methods (optimal transport, fixed-point, ordinary differential equations) to obtain existence and/or uniqueness of Cournot–Nash equilibria for games with a continuum of players with both attractive and repulsive effects. We mainly address separable situations but for which the game does not have a potential, contrary to the variational framework of Blanchet and Carlier (Optimal transport and Cournot–Nash equilibria, 2012). We also present several numerical simulations which illustrate the applicability of our approach to compute Cournot–Nash equilibria.

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Since the admissible set is convex and weakly-$*$ compact, it is obvious that the Monge–Kantorovich optimal transport problem admits solutions. For a detailed account of optimal transport theory, we refer to Villani’s textbooks [13, 14].

This is the case, for instance, if ${\mathcal {V}}[\nu ]$ has the form

$$\begin{aligned} {\mathcal {V}}[\nu ](y):=\int _Y \phi (y,z) \;\mathrm{d}\nu (z) \end{aligned}$$

with $\phi $ smooth and convex with respect to its first argument.

This is the case as soon as ${\mathcal {V}}[\nu ]$ fulfils some coercivity assumption and $U$ is chosen large enough.

By definition the $1$-Wasserstein distance ${\mathcal {W}}_1$ between probability measures $\nu _1$ and $\nu _2$ is the least average distance for transporting $\nu _1$ into $\nu _2$:

$$\begin{aligned} {\mathcal {W}}_1(\nu _1, \nu _2):=\inf _{\eta \in \Pi (\nu _1, \nu _2)} \int _{Y\times Y} \vert y_1-y_2\vert \;\mathrm{d}\eta (y_1, y_2). \end{aligned}$$

Aumann, R.: Existence of competitive equilibria in markets with a continuum of traders. Econometrica 32, 39–50 (1964)CrossRefMATHMathSciNet

Aumann, R.: Markets with a continuum of traders. Econometrica 34, 1–17 (1966)CrossRefMATHMathSciNet

Blanchet, A., Carlier, G.: Optimal transport and Cournot–Nash equilibria. Preprint http://www.arxiv.org/abs/1206.6571 (2012)

Carlier, G.: Duality and existence for a class of mass transportation problems and economic applications. Adv. Math. Econ. 5, 1–21 (2003)CrossRefMathSciNet

Fan, K.: Fixed-point and minimax theorems in locally convex topological linear spaces. Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 38, 121–126 (1952)

Kahn, M.A., Sun, Y.: Non-cooperative games with many players. Handb. Game Theory Econ. Appl. 3, 1761–1808 (2002)CrossRef

Lasry, J.-M., Lions, P.-L.: Jeuxà champ moyen. i. le cas stationnaire. C. R. Math. Acad. Sci. Paris 343, 619–625 (2006)CrossRefMATHMathSciNet

Lasry, J.-M., Lions, P.-L.: Jeuxà champ moyen. ii. horizon fini et contrôle optimal. C. R. Math. Acad. Sci. Paris 343, 679–684 (2006)CrossRefMATHMathSciNet

Lasry, J.-M., Lions, P.-L.: Mean field games. Jpn. J. Math. 2, 229–260 (2007)CrossRefMATHMathSciNet

10.

Mas-Colell, A.: On a theorem of Schmeidler. J. Math. Econ. 3, 201–206 (1984)CrossRefMathSciNet

11.

Schmeidler, D.: Equilibrium points of nonatomic games. J. Stat. Phys. 7, 295–300 (1973)CrossRefMATHMathSciNet

12.

Tychonoff, A.: Ein fixpunktsatz. Math. Ann. 111(1), 767–776 (1935)

13.

Villani, C.: Topics in optimal transportation, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, vol. 58, Providence, RI (2003)

14.

Villani, C.: Optimal Transport: Old and New. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag (2009)CrossRef

Titel: Remarks on existence and uniqueness of Cournot–Nash equilibria in the non-potential case
verfasst von: A. Blanchet
G. Carlier
Publikationsdatum: 01.09.2014
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Erschienen in: Mathematics and Financial Economics / Ausgabe 4/2014
Print ISSN: 1862-9679
Elektronische ISSN: 1862-9660
DOI: https://doi.org/10.1007/s11579-014-0127-z

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