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Erschienen in:
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2018 | OriginalPaper | Buchkapitel

5. Lösungsmethoden und Vertiefung der Grundlagen

verfasst von : Harald Klingbeil

Erschienen in: Grundlagen der elektromagnetischen Feldtheorie

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Dieses Kapitel beginnt mit einer Diskussion elektrisch bzw. magnetisch ideal leitender Wände, worauf die feldtheoretische Definition der Kapazität, des ohmschen Widerstands und der Induktivität folgt. Anschließend werden grundlegende Methoden zur Lösung spezieller feldtheoretischer Probleme behandelt. Dazu gehört die Spiegelungsmethode, die ausführlich erläutert wird. Auch die Power-Loss-Methode und Green’sche Funktionen werden diskutiert. Einfache verlustlose Wellenleiter und der Skineffekt werden ebenfalls behandelt. Die Kirchhoff’sche Formel zur Lösung der Wellengleichung ist ebenfalls Bestandteil dieses Kapitels. Die Analyse einer verlustbehafteten Bandleitung als Zweischichtenproblem rundet das Kapitel ab.

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Fußnoten
1
Die sogenannte Lenz’sche Regel wird in diesem Zusammenhang oft falsch interpretiert. Sie besagt, dass die Induktion ihrer Ursache, nämlich dem Strom, entgegenwirkt. Deshalb könnte man auf die Idee kommen, in der Gleichung \(U=L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\) ein Minuszeichen einzuführen. Wie Abb. 5.3b aber in Verbindung mit der Rechnung zweifelsfrei zeigt, bezieht sich das Minuszeichen auf die Umlaufspannung, die der an der Induktivität anliegenden Spannung entgegengerichtet ist.
 
2
Die magnetische Energie berechnet man in der Theorie konzentrierter Bauelemente aus der Leistung gemäß
$$W_{\mathrm{magn}}=\int P_{\mathrm{magn}}\mathrm{d}t=\int UI\mathrm{d}t=L\int I\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t=L\frac{I^{2}}{2}.$$
Den letzten Schritt kann man mithilfe einer partiellen Integration vollziehen.
 
3
Im Unendlichen sind streng genommen genauere Untersuchungen nötig, da nicht nur der Integrand gegen null strebt, sondern auch die Integrationsfläche unendlich groß wird (s. auch Aufgabe 5.3.1). Ist der felderfüllte Raum von einer magnetisch ideal leitenden Wand begrenzt, dann stellt dies kein Problem dar, da \(\vec{E}=-\operatorname{grad}\Phi\) dann tangential zur Wand verläuft und das Flächenintegral deshalb verschwindet (man beachte die Verallgemeinerung magnetisch ideal leitender Wände aus Abschn. 5.1.2).
 
4
Hier greift wieder dieselbe Argumentation wie schon in Fußnote 4 des Abschn. 4.​1: Das Innere von Leitern ist feldfrei, das Potential an ihrer Oberfläche konstant.
 
5
Das erste Flächenintegral verschwindet auch bei Leitern endlicher Dicke, wenn die Normalkomponente des Magnetfeldes an deren Oberfläche gleich null ist (z. B. für ideale Leitfähigkeit). Dann steht \(\vec{H}=-\operatorname{grad}\Psi\) nämlich stets senkrecht zum Flächenvektor \(\mathrm{d}\vec{A}\). Auch in diesem Fall bleibt also die Herleitung gültig.
 
6
Diese Überlegung lässt sich verallgemeinern: Da das Feld der Originalanordnung an der Oberfläche eines leitenden Körpers identisch mit dem Feld der Ersatzanordnung sein muss, liefert der Gauß’sche Satz in beiden Fällen dieselbe umschlossene Ladung. Demnach ist die Summe aller innerhalb des Körpervolumens angebrachten Spiegelladungen gleich der im Originalkörper influenzierten Ladung.
 
7
Man kann die Anordnung wegen der Längshomogenität auch als eine zweidimensionale auffassen, sodass nur der Querschnitt zu betrachten ist, in dem der Zylinder als Kreis erscheint.
 
8
Selbst für eine relativ schlechte metallische Leitfähigkeit von \(3\cdot 10^{7}\,\mathrm{S/m}\) und eine sehr hohe Frequenz von \(100\,\mathrm{GHz}\) (die Leitfähigkeit von Metallen entspricht bis in den Mikrowellenbereich hinein der im Gleichstromfall) erhält man \(|\operatorname{Re}\{\underline{\epsilon}\}/\operatorname{Im}\{\underline{\epsilon}\}|\approx 2\cdot 10^{-7}\), sodass die Näherung hervorragend erfüllt ist.
 
9
Dies ist deshalb möglich, weil die Fläche unter einer Exponentialfunktion \(f(z)=f(0)e^{-z/\delta}\) genauso groß ist wie die eines Rechtecks mit der Höhe \(f(0)\) und der Breite \(\delta\):
$$\int_{0}^{\infty}J\mathrm{d}z=\int_{0}^{\infty}J_{0}e^{-z/\delta}\mathrm{d}z=J_{0}\delta$$
Der insgesamt fließende Strom ist also derselbe; für kleine \(\delta\) kann man die Integrale auch als Flächenstromdichte \(J_{\mathrm{F}}\) deuten.
 
10
Im Folgenden wird der Index \(t\) auch für die Tangentialkomponenten des Feldes benutzt. Die Gleichungen (5.39) müssen in jedem transversalen Querschnitt des Wellenleiters gelten. Auf die Leitungsquerschnitte bezogen sind Transversalkomponenten nichts anderes als Tangentialkomponenten des später benutzten Randes \(\partial V\), sodass keine Inkonsistenz bei der Benennung vorliegt.
 
11
Der Begriff wird in Anlehnung an die Eigenfunktionen in der Theorie gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen benutzt; die Eigenwellen sind quasi vektorielle Eigenfunktionen.
 
12
Bei \(\vec{E}_{p}\), \(\vec{H}_{p}\) handele es sich nicht um normierte Eigenwellen; diese Größen sollen bereits Koeffizienten beinhalten, sodass die jeweilige Summe eine beliebige Lösung für das Feld im Wellenleiter darstellt.
 
13
Die \(z\)-Abhängigkeit der Felder und die Longitudinalkomponenten kann man wieder hinzufügen, sodass man (5.40) erhält.
 
14
Die allgemeinste \(\mathrm{E}_{mn}\)-Welle kann man gemäß Tab. Tab.​ B.​18 aus \(\vec{H}\sim\operatorname{rot}\vec{A}\) mit \(\vec{A}=A_{z}\vec{e}_{z}\) ableiten. Die Randbedingung \(E_{x}=0\) für \(y\in\{0,b\}\) kann man wegen \(E_{x}\sim\frac{\partial^{2}A_{z}}{\partial z\partial x}\) durch den Term \(\sin k_{y}y\) mit \(k_{y}=n\pi/b\) erfüllen. Analog lässt sich die Randbedingung \(E_{y}=0\) für \(x\in\{0,a\}\) wegen \(E_{y}\sim\frac{\partial^{2}A_{z}}{\partial z\partial y}\) durch den Term \(\sin k_{x}x\) mit \(k_{x}=m\pi/a\) erfüllen:
$$A_{z}=A_{0}\sin k_{x}x\sin k_{y}ye^{-jk_{z}z}$$
Damit nicht alle Feldkomponenten verschwinden, muss \(m\geq 1\) und \(n\geq 1\) gelten.
 
15
auch Wellenzahlvektor genannt.
 
16
TEM-Wellen sind ebene Wellen; ihre Felder hängen nur von der Ausbreitungsrichtung ab. In Gebieten mit Raumladung sind auch ebene Wellen mit Longitudinalkomponenten möglich.
 
17
auch Brechzahl genannt.
 
18
Bei Eis, also bei tiefen Temperaturen, beginnt die Abnahme von \(\epsilon_{\mathrm{r}}\) bereits bei deutlich niedrigeren Frequenzen.
 
19
Hier wird von (2.​223) Gebrauch gemacht.
 
20
Wenn der Aufpunkt, an dem das Feld gemessen wird, hinreichend weit von der Ladungsverteilung entfernt ist, dann entspricht das gemessene Feld näherungsweise dem einer Punktladung.
 
21
Später wird erläutert werden, dass (5.61) im Gegensatz zu (5.60) nicht in jedem Fall gefordert werden kann.
 
22
Das Gebiet \(\Omega\) darf durchaus Löcher enthalten. Solche Löcher können zum Beipiel Leiter repräsentieren, auf denen ein konstantes Potential vorgegeben ist. Die Oberflächen dieser Löcher gehören natürlich zum Rand von \(\Omega\).
 
23
Die Vektoren \(\vec{r}\) und \(\vec{r}_{\mathrm{L}}\) seien zweidimensional, sodass \(\int\rho_{\mathrm{el}}\mathrm{d}A=\lambda_{\mathrm{el}}\) gilt.
 
24
Wegen des hinreichend starken Abfalls von \(\Phi\) und \(\frac{\partial G}{\partial n}\) für größer werdende Abstände vom Ursprung liefert nur die \(x\)-Achse einen Beitrag zum Integral.
 
25
Wegen \(\Psi=\Psi_{1}-\int\vec{H}\cdot\mathrm{d}\vec{s}\) und der Randbedingung \(H_{t}=J_{\mathrm{F}}\) folgt bei Integration über den Rand \(\Psi=-\int J_{\mathrm{F}}\mathrm{d}s\) (\(\Psi_{1}=0\)). Für die Integration entlang des Kreisumfanges setzen wir hierbei \(H_{t}=H_{\varphi}\). Man beachte, dass deshalb wegen \(H_{t}=J_{\mathrm{F}}\) die Zählpfeilrichtung für die Flächenstromdichte \(J_{\mathrm{F}}\) der negativen \(z\)-Richtung entspricht.
 
26
Durch die Substitution entstehen die Integrationsgrenzen \(-\pi-\varphi_{\mathrm{L}}\) und \(+\pi-\varphi_{\mathrm{L}}\). Für ganzzahlige \(n> 0\) kann man die Integrationsgrenzen aber wegen der Periodizität des Integranden wieder in den Bereich \([-\pi,\pi]\) verschieben.
 
27
Mithilfe der Sinus- und Kosinusadditionstheoreme sowie (B.35) und (B.37) kann man aus (5.71) leicht die Beziehung
$$\vec{F}=Qv\mu_{0}I_{0}n\frac{r^{n-1}}{R^{n}}\left(\cos((n-1)\varphi)\vec{e}_{x}-\sin((n-1)\varphi)\vec{e}_{y}\right)$$
gewinnen – für \(n=1\) gilt also tatsächlich bei konstantem \(F_{x}\) stets \(F_{y}=0\). Der Leser möge sich nicht daran stören, dass die Beziehungen (B.35) und (B.37) erst im Vertiefungsband hergeleitet werden; die Resultate lassen sich auch mit herkömmlicher Vektoranalysis und geometrischen Überlegungen leicht verifizieren.
 
Metadaten
Titel
Lösungsmethoden und Vertiefung der Grundlagen
verfasst von
Harald Klingbeil
Copyright-Jahr
2018
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Grundlagen der elektromagnetischen Feldtheorie

Print ISBN: 978-3-662-56599-5

Electronic ISBN: 978-3-662-56600-8

Copyright-Jahr: 2018

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-56600-8_5

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