5. Lorentztransformation und grundlegende Effekte der speziellen Relativitätstheorie

Als Inertialsystem bezeichnet man ein unbeschleunigtes Bezugssystem. Ein Bezugssystem in der Physik beinhaltet materielle Objekte, die als Bezugskörper dienen, sowie Messinstrumente (insbesondere zur Längenmessung und zur Zeitmessung). Einem Bezugssystem kann man verschiedene Koordinatensysteme zuordnen. Ist eine solche Zuordnung erfolgt, dann lässt sich ein sogenanntes Ereignis durch die Angabe von drei räumlichen Koordinaten und der Zeit charakterisieren. In diesem Kapitel statten wir Bezugssysteme stets mit einem bestimmten kartesischen Koordinatensystem sowie einer zugehörigen Variablen für die Zeit aus. Deshalb unterscheiden wir in diesem Buch nicht streng zwischen den Begriffen „Bezugssystem“ und „Koordinatensystem“ und nutzen für beide das Symbol \(K\). Während die Frage, ob sich ein Bezugssystem gleichförmig bewegt, nur relativ zu einem anderen Bezugssystem gesehen beantwortet werden kann, ist die Frage, ob ein Bezugssystem beschleunigt ist, auch absolut beantwortbar. Anhand der Flugbahn von Teilchen, auf die keine Kräfte wirken, lässt sich entscheiden, ob das Bezugssystem beschleunigt ist oder nicht.

Dass in (5.1) und (5.2) zwei unterschiedliche Zeitvariablen \(t\) und \(\bar{t}\) angesetzt werden, ist der Schlüssel zum Erfolg. Andernfalls wäre es unmöglich, eine kugelförmige Ausbreitung in beiden Bezugssystemen zu ermöglichen.

Indem wir die Koordinate \(\theta^{4}\) als imaginäre Größe mit dem Betrag \(c_{0}t\) definieren, schließen wir uns dem von Einstein Einstein 2002 und Sommerfeld Sommerfeld 1948 eingeschlagenen, auf Minkowski zurückgehenden Weg an. In moderneren Büchern über theoretische Physik wird das unterschiedliche Vorzeichen der räumlichen und zeitlichen Komponenten in der Regel nicht durch die Verwendung der imaginären Einheit \(j\) erzeugt, sondern durch Verwendung eines Metriktensors, dessen Diagonalelemente teilweise gleich 1 und teilweise gleich \(-1\) sind. Die Grundlagen für das Verständnis einer solchen Vorgehensweise haben wir zwar mit der Einführung in den Tensorkalkül bereits gelegt. Für einen unvoreingenommenen Leser ist es aber naheliegender, eine imaginäre Koordinate einzuführen, um (5.1) in die Form \(\sum\limits_{i=1}^{4}(\theta^{i})^{2}=0\) zu überführen. Deshalb wird in diesem Buch der Sommerfeld’sche Ansatz gewählt, der hinsichtlich der speziellen Relativitätstheorie auf dieselben Resultate führt. Nach der Lektüre dieses Buches sollte es dem Leser keine großen Schwierigkeiten mehr bereiten, der Alternativdarstellung zu folgen (s. Abschn. 9.​9). Abschließend sei erwähnt, dass es natürlich auch möglich ist, die Nummerierung der Komponenten anders zu wählen, sodass äquivalente Ergebnisse unterschiedlich aussehen. Beispielsweise kann man die zeitliche Komponente mit \(\theta^{0}\) bezeichnen statt mit \(\theta^{4}\).

Natürlich könnte man zunächst \(\bar{a}^{3}_{1}=j\;\bar{a}^{4}_{1}\) und \(\bar{a}^{3}_{2}=j\;\bar{a}^{4}_{2}\) ansetzen, um die Summe der Quadrate verschwinden zu lassen. Wendet man dann aber (5.7) für \(k=1\) und \(l=3\) an, so sieht man, dass \(\bar{a}^{3}_{1}=0\) gelten muss. Für \(k=2\) und \(l=3\) folgt \(\bar{a}^{3}_{2}=0\). Die Koeffizienten \(\bar{a}^{i}_{k}\) für \(i\in\{3,4\}\) und \(k\in\{1,2\}\)müssen also alle gleich null sein.

Die Skalierung der \(z\)-Achse unterscheidet sich zwar von der der \(\bar{z}\)-Achse; eine Zeichnung wie Abb. 5.1 ist aber legitim, da \(x=\bar{x}\) und \(y=\bar{y}\) gilt. Deshalb muss man auch die \(\bar{z}\)-Richtung nicht unbedingt von der \(z\)-Richtung unterscheiden.

Der Faktor \(e^{-jkr}\), der beispielsweise in den Frequenzbereichsgleichungen (2.​59) und (2.​60) in Abschn. 2.​3 auftritt, führt im Zeitbereich zur Phase \(\omega t-kr\).

Wegen \(t> z_{0}/v\) folgt aus (5.30) die Beziehung \(\bar{z}_{0}=\frac{z_{0}-vt}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c_{0}^{2}}}}<0\), sodass \({\bar{r}=|\bar{z}_{0}|=-\bar{z}_{0}}\) gilt.

Wegen \(t<z_{0}/v\) folgt aus (5.30) die Beziehung \(\bar{z}_{0}=\frac{z_{0}-vt}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c_{0}^{2}}}}> 0\), sodass \(\bar{r}=|\bar{z}_{0}|=\bar{z}_{0}\)gilt.

Die Rechnung sei dem Leser als Übung empfohlen.