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2009 | Buch

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Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler kompakt

Kurz und verständlich mit vielen einfachen Beispielen

verfasst von: Dr. rer. pol. Franz Pfuff

Verlag: Vieweg+Teubner

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Das Buch ist speziell auf die Bedürfnisse von Bachelor-Studierenden der Wirtschaftswissenschaften zugeschnitten. Theoretische Erklärungen sind dabei bewusst knapp gehalten und es wird, wo immer es möglich ist, weitgehend auf Abstraktion verzichtet. Die Studierenden sollen vielmehr anhand von einfachen Beispielen lernen, wie man die mathematischen Regeln anwendet. Trotzdem wird aber jeder Begriff so ausführlich wie nötig erklärt.

Die Stoffauswahl beschränkt sich konsequent auf alles, was zum Bestehen der Klausur und zum Verständnis der mathematischen Probleme in anderen Fächern des Studiums wirklich notwendig ist. Dank der zahlreichen Übungsaufgaben kann sich jeder den Stoff selbst erarbeiten und sich damit auf die Klausur vorbereiten.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Theorie

Frontmatter

1. Grundlagen der Arithmetik

2. Mengen

Auszug

Für Mengen benützt man allgemein die Schreibweise

$$ A = \{ a|a hat Eigenschaft p\} . $$

3. Ungleichungen und Absolutbeträge

Auszug

Zur Lösung von Ungleichungen benötigt man die folgenden Rechenregeln: Für alle reellen Zahlen a, b, c gilt:

$$ \begin{gathered} a. a < b \Rightarrow a + c < b + c \hfill \\ b. a < b \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {a \cdot c < b \cdot c f\ddot ur c > 0} \\ {a \cdot c > b \cdot c f\ddot ur c < 0} \\ \end{array} } \right. \hfill \\ \end{gathered} $$

Bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl c wird also das Ungleichheitszeichen umgedreht.

$$ c. 0 < a < b \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {a^n < b^n } \\ {\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b} } \\ \end{array} } \right.f\ddot ur alle n \in \mathbb{N}. $$

4. Funktionen

Auszug

Eine Funktion ist eine Vorschrift f, die jedem Argument x ∈ D_f genau einen Bildpunkt y = f(x) ∈ ℝ zuordnet:

$$ f:D_f \to \mathbb{R}, x \to y = f(x) $$

Dabei bezeichnet man die Menge der Argumente x, für die f(x) existiert, als Definitionsbereich D_f Bildpunkte f(x), die die Funktion f annimmt, als Wertebereich W_f mit

$$ W_f = \{ y = f(x)|x \in D_f \} . $$

5. Grenzwerte von Funktionen

Auszug

Um eine Funktion f(x) zeichnen zu können, muss man häufig Grenzwerte berechnen. Man unterscheidet dabei zwischen einem

Grenzwert im Unendlichen: $ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) bzw. \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) $ Hierbei wird untersucht, wie sich die Funktion f (x) verhält, wenn x → ∞ bzw. x → -∞ strebt.

Grenzwert an der Stellex₀: rechtsseitiger Grenzwert in x₀:

$$ \mathop {\lim }\limits_{x \to x_{0,} x > x_0 } f(x) $$

linksseitiger Grenzwert in x₀:

$$ \mathop {\lim }\limits_{x \to x_{0,} x > x_0 } f(x) $$

6. Ableitungen

Auszug

Die Ableitung f′(x₀) einer Funktion f beschreibt die Steigung der Funktion an der Stelle x₀.

7. Exponential- und Logarithmusfunktion

Auszug

Exponential- und Logarithmusfunktionen sind spezielle Funktionen, die viele wichtige und nützliche Eigenschaften besitzen. Zur Berechnung der Funktionswerte benötigt man in der Regel einen Taschenrechner.

8. Kurvendiskussion

Auszug

Bei der Kurvendiskussion untersucht man systematisch die wichtigsten Eigenschaften einer Funktion f(x). Dazu gehören im Einzelnen:

der Definitionsbereich D_f
die Nullstellen x_N mit f(x_N) = 0
der Wertebereich W_f
der Achsenabschnitt y_a = f(0)
das Grenzwertverhalten der Funktion f(x).

9. Funktionen von zwei Variablen

Auszug

Eine Funktion von zwei Variablen f(x,y) ist eine Vorschrift /, die jedem Argument (x, y) Є D_f genau einen Funktionswert z = f(x, y) Є ℝ zuordnet; es gilt also:

$$ f:D_f \to \mathbb{R}, (x,y) \to z = f(x,y). $$

10. Die partielle Ableitung

Auszug

Bei einer Funktion y = f(x) von einer Variablen ist die Ableitung an der Stelle X₀ definiert als Grenzwert

$$ f'(x_0 ) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } \frac{{f(x) - f(x_0 )}} {{x - x_0 }} = \frac{{df}} {{dx}}(x_0 ). $$

11. Totales Differential, Grenzrate der Substitution

Auszug

Ist y = f(x) eine Produktionsfunktion, so möchte man beispielsweise wissen, wie sich eine Erhöhung der Faktoreinsatzmenge x₀ um dx Mengeneinheiten auf den Output y auswirkt. Falls die Funktion y = f(x) und die Erhöhung dx genau bekannt sind, berechnet man die exakte Funktionsdifferenz nach der Formel

$$ \Delta y = f(x_0 + dx) - f(x_0 ). $$

12. Extrema mit und ohne Nebenbedingungen

Auszug

Zur Bestimmung der lokalen Extrema einer Funktion f(x, y) gibt es ähnlich wie bei einer Funktion von einer Variablen wieder eine notwendige und eine hin- reichende Bedingung: Notwendige Bedingung Bestimme alle Lösungen (xs,ys), die folgende Gleichungen erfüllen:

$$ \begin{array}{*{20}c} {f_x = 0,} \\ {f_y = 0.} \\ \end{array} $$

13. Integrale

Auszug

Die Integration einer Funktion f(x) ist die Umkehroperation zur Differentiation dieser Funktion.

14. Elastizitäten

Auszug

Bei der Untersuchung vieler funktionaler Zusammenhänge in den Wirtschaftswissenschaften tritt die Frage auf, wie stark die abhängige Variable auf eine Veränderung der unabhängigen Variablen „reagiert“. An dem folgenden Beispiel einer Nachfragefunktion x = x(p) = 100 - p soll nun auf anschauliche Weise erläutert werden, wie man diese Reaktion mathematisch beschreiben kann.

15. Finanzmathematik

16. Matrizen

Auszug

Eine (m x n)-Matrix A ist eine Tabelle der Form

$$ A = (a_{ij} )_{m \times n} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {a_{11} } & \cdots & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & \cdots & {a_{2n} } \\ \vdots & {} & \vdots \\ {a_{21} } & \cdots & {a_{mn} } \\ \end{array} } \right) $$

17. Lineare Gleichungssysteme

Auszug

Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten xi,..., x_n besitzt allgemein die Form:

$$ \begin{array}{*{20}c} {a_{11} x_1 } & { + \ldots } & { + a_{1n} x_n } & { = b_1 } \\ {a_{21} x_1 } & { + \ldots } & { + a_{2n} x_n } & { = b_2 } \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ {a_{m1} x_1 } & { + \ldots } & { + a_{mn} x_n } & { = b_m } \\ \end{array} $$

oder in Matrizenschreibweise A · x = b, wobei folgende Bezeichnungen benützt werden:

https://static-content.springer.com/image/chp%3A10.1007%2F978-3-8348-9561-5_17/978-3-8348-9561-5_17_Equa_HTML.gif

18. Determinanten

Auszug

Die Determinante einer Matrix A ist eine reelle Zahl, die man dieser Matrix zuordnet, d. h.

$$ A \to det A \in \mathbb{R} $$

19. Inverse Matrizen

Auszug

Zu jeder reellen Zahl a ≠ 0 existiert eine inverse Zahl $ a^{ - 1} = \frac{1} {a} $, so dass gilt:

$$ a \cdot a^{ - 1} = a \cdot \frac{1} {a} = 1. $$

20. Lineare Programmierung

Auszug

Die Lineare Programmierung wird sehr häufig zur Lösung betriebswirtschaftlicher Entscheidungsprobleme benützt. Man versteht darunter ein mathematisches Verfahren, bei dem eine lineare Zielfunktion unter linearen Nebenbedingungen (= Restriktionen) maximiert bzw. minimiert wird. Dieses Optimierungsverfahren wird am besten anhand eines konkreten Beispiels erklärt.

Backmatter

Titel: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler kompakt
verfasst von: Dr. rer. pol. Franz Pfuff
Verlag: Vieweg+Teubner
Electronic ISBN: 978-3-8348-9561-5
Print ISBN: 978-3-8348-0711-3
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-8348-9561-5