Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler

Unter einer Menge M versteht man die Zusammenfassung gewisser wohlunterschiedener Objekte, Elemente genannt, zu einer Einheit.

Eine algebraische Gleichung n-ten Grades besitzt die allgemeine Form $${a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0} = 0\left( {{a_n} \ne 0,{a_k} \in R} \right)$$

Ungleichungen mit einer Unbekannten x entstehen, wenn man zwei Terme T₁(x) und T₂(x) durch eines der Relationszeichen „<“, „>“, „≤“, „≥“, miteinander verbindet. Sie lassen sich in vielen Fällen (ähnlich wie Gleichungen) durch sog. „äquivalente Umformungen” lösen. Zu diesen gehören: 1.Die Seiten einer Ungleichung dürfen miteinander vertauscht werden, wenn gleichzeitig das Relationszeichen umgedreht wird.2.Auf beiden Seiten einer Ungleichung darf ein beliebiger Term T(x) addiert oder subtrahiert werden.3.Eine Ungleichung darf mit einem beliebigen positiven Term T(x) > 0 multipliziert oder durch einen solchen Term dividiert werden.4.Eine Ungleichung darf mit einem beliebigen negativen Term T(x) < 0 multipliziert oder durch einen solchen Term dividiert werden, wenn gleichzeitig das Relationszeichen umgedreht wird.

Die beiden Grundflächen eines schiefen Prismas liegen in parallelen Ebenen und sind kongruente n-Ecke (grau unterlegt), die n Seitenflächen Parallelogramme.

Die beiden Koordinatenachsen stehen senkrecht aufeinander, die Lage des Punktes P wird durch zwei Abstandskoordinaten x und y, die sog. rechtwinkligen oder kartesischen Koordinaten, beschrieben: O: Ursprung, Nullpunktx: Absziissey: Ordinate des Punktes P

Vektoren sind gerichtete Größen, die durch eine Maßzahl und eine Richtung vollständig beschrieben und in symbolischer Form durch einen Pfeil dargestellt werden (Bild a)). Die Länge des Pfeils heißt Betrag |a⃗| = a) des Vektors a⃗, die Pfeilspitze legt die Richtung des Vektors fest.

Die Einheitsvektoren e⃗ _x , e⃗ _y und e⃗ _z , auch Basisvektoren genannt, stehen paarweise senkrecht aufeinander und bilden in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges System, d. h. sie haben dieselbe Orientierung wie Daumen, Zeige- und Mittelfinger der rechten Hand (Bild a)). Statt e⃗ _x , e⃗ _y , e⃗ _z verwendet man auch die Symbole e⃗₁, e⃗₂, e⃗ ₃ oder i⃗, j⃗, k⃗.

Addition und Subtraktion zweier Vektoren erfolgen nach der Parallelogrammregel.

Die konstante Kraft F⃗ verrichtet beim Verschieben eines Massenpunktes m um den Vektor s⃗ die folgende Arbeit: $$W = \vec F\cdot\vec s = \left| {\vec F} \right|\cdot\left| {\vec s} \right|\cdot\cos \varphi = {F_s}s$$

Unter einer Funktion von einer Variablen versteht man eine Vorschrift, die jedem Element x ∈ D genau ein Element y ∈ W zuordnet. Symbolische Schreibweise : y = f(x).

Schnitt- bzw. Berührpunkte der Funktionskurve mit der x-Achse: $$f\left( {{x_0}} \right) = 0$$

Unter einer (reellen) Zahlenfolge versteht man eine geordnete lenge reeller Zahlen.

Winkel werden im Grad- oder Bogenmaß gemessen.

Die Umkehrfunktionen der auf bestimmte Intervalle beschränkten trigonometrischen Funktionen heißen Arkus- oder zyklometrische Funktionen. Die Intervalle müssen dabei so gewählt werden, daß die trigonometrischen Funktionen dort in streng monotoner Weise sämtliche Funktionswerte durchlaufen und somit umkehrbar sind. Der Funktionswert einer Arkusfunktion ist ein im Bogen- oder Gradmaß dargestellter Winkel.

Die Logarithmusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen.

Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen heißen Areafunktionen, wobei die Umkehrung von y = cosh x im Intervall x ≥ 0 vorgenommen wird. Die Areafunktionen lassen sich durch logarithmische Funktionen ausdrücken.

Kegelschnitte sind ebene Kurven, die beim Schnitt eines geraden Kreiskegels mit Ebenen entstehen. Zu ihnen gehören Kreis, Ellipse, Hyperbel und Parabel.

Ein Punkt P auf dem Umfang eines Kreises, der auf einer Geraden (x-Achse) abrollt, beschreibt eine als Rollkurve oder gewöhnliche Zykloide bezeichnete periodische Bahnkurve: $$\begin{array}{*{20}{c}} {x = R(t - \sin \;t)} \\ {y = R(1 - \cos \;t)} \end{array}( - \infty < t < \infty )$$

Ein konstanter Faktor C bleibt beim Differenzieren erhalten: $$y = C \cdot f(x) \Rightarrow y' = C \cdot f'x$$

Geschwindigkeit v und Beschleunigung a einer geradlinigen Bewegung erhält man als 1. bzw. 2. Ableitung des Weg-Zeit-Gesetzes s = s(t) nach der Zeit t: $$\begin{array}{*{20}{c}} {Geschwindigkeit - Zeit - Gesetz:v(t) = \dot s(t)} \\ {Beschleunigung - Zeit - Gesetz:a(t) = \dot v(t) = \ddot s(t)} \end{array}{\text{ }}$$

Das bestimmte Integral$$\int\limits_a^b {f(x)dx} $$ läßt sich in anschaulicher Weise als Flächeninhalt A zwischen der stetigen Funktion y = f(x), der x-Achse und den beiden zur y-Achse parallelen Geraden x = a und x = b deuten, sofern die Kurve im gesamten Intervall a ≤ x ≤ b oberhalb der x-Achse verläuft.

Das unbestimmte Integral$$I(x) = \int\limits_a^x {f(t)dt} $$ beschreibt den Flächeninhalt A zwischen der stetigen Kurve y = f(t) und der t-Achse im Intervall a ≤ t ≤ x in Abhängigkeit von der oberen (variabel gehaltenen) Grenze x und wird daher auch als Flächenfunktion bezeichnet (Voraussetzung: f(t) ≥ 0 und x ≥ a).

Das vorgegebene Integral ∫ f (x) d x wird mit Hilfe einer geeigneten Substitution wie folgt in ein Grund- oder Stammintegral übergeführt1): 1.Aufstellung der Substitutionsgleichungen:$$u = g(x),\frac{{du}}{{dx}} = g'(x),dx = \frac{{du}}{{g'(x)}}$$ bzw. $$x = h(u),\frac{{dx}}{{du}} = h'(u),\quad dx = h'(u)du$$$$(u{\text{ }} = {\text{ }}g(x)\quad bzw.\quad x\quad = \quad h(u)\quad m\ddot ussen\quad monotone\quad Funktionen\quad sein)$$2.Durchführung der Integralsubstitution: $$\int {f(x)dx = \int {\varphi (u)du} } $$3.Integration (Berechnung des neuen Integrals): $$\int {\varphi (u)du} = \Phi (u)$$4.Rücksubstitution: $$\int {f(x)dx} = \int {\varphi (u)du = \Phi (u) = \Phi (g(x)) = F(x)} $$

Uneigentliche Integrale werden durch Grenzwerte erklärt. Ist der jeweilige Grenzwert vorhanden, so heißt das uneigentliche Integral konvergent, sonst divergent.

Aus der Beschleunigungs-Zeit-Funktion a = a(t) einer geradlinigen Bewegung erhält man durch ein- bzw. zweimalige Integration bezüglich der Zeitvariablen t den zeitlichen Verlauf von Geschwindigkeit v und Weg s: $$v = v(t) = \int {a(t)dt} \quad |\quad s = s(t) = \int {v(t)dt} $$

Aus den Gliedern einer unendlichen Zahlenfolge <a _n > = a₁, a₂, a₃, ..., a _n , ... werden wie folgt Partial- oder Teilsummen s _n gebildet: $${s_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}} \quad (n - te\;Partialsumme)$$

Eine (n + 1)-mal differenzierbare Funktion f(x) läßt sich um das „Entwicklungszentrum“ x₀ wie folgt entwickeln (sog. Taylorsche Formel): $$f(x) = \underbrace {f({x_0}) + \frac{{f'({x_0})}}{{1!}}(x - {x_0}) + \frac{{f''({x_0})}}{{2!}}(x - {x_0}) + \ldots + \frac{{{f^{(n)}}({x_0})}}{{n!}}{{(x - {x_0})}^n}}_{Taylorsches\;Polynom\;{f_n}(x)\;vom\;Grade\;n} + \underbrace {{R_n}(x)}_{{\text{Re}}stglied}$$

Eine periodische Funktion f(x) mit der Periode p = 2 π läßt sich unter bestimmten Voraussetzungen (siehe weiter unten) in eine unendliche trigonometrische Reihe der Form $$f(x) = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {{a_n} \cdot \cos (n{\mkern 1mu} x) + {b_n} \cdot \sin (n{\mkern 1mu} x)} \right]} $$ entwickeln (sog. Fourier-Reihe von f(x)).

Unter einer reellen MatrixA vom Typ (m, n) versteht man ein aus m • n reellen Zahlen bestehendes rechteckiges Schema mit m waagerecht angeordneten Zeilen und n senkrecht angeordneten Spalten: $$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1k}}}& \cdots &{{a_{1n}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{2k}}}& \cdots &{{a_{2n}}} \\ \vdots & \vdots &{}& \vdots &{}& \vdots \\ {{a_{i1}}}&{{a_{i2}}}& \cdots &{{a_{ik}}}& \cdots &{{a_{in}}} \\ \vdots & \vdots &{}& \vdots &{}& \vdots \\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}& \cdots &{\mathop {{a_{mk}}}\limits_{\mathop \uparrow \limits_{k - te\;Spalte} } }& \cdots &{{a_{mn}}} \end{array}} \right) \leftarrow i - te\;Zeile$$

Determinanten n-ter Ordnung (auch n-reihige Determinanten genannt) sind reelle Zahlen, die man den n-reihigen quadratischen Matrizen aufgrund einer bestimmten Rechenvorschrift zuordnet.

Ein aus m linearen Gleichungen mit n Unbekannten x₁, x₂, ..., x _n bestehendes System $$\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2}\;\;... + {a_{1n}}{a_n} = {c_1}} \\ {{a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2}\;\;... + {a_{2n}}{a_n} = {c_2}} \\ { \vdots \quad \quad \quad \vdots \quad \quad \quad \quad \vdots \quad \quad \vdots } \\ {{a_{m1}}{x_1} + {a_{m2}}{x_2}\;\;... + {a_{mn}}{a_n} = {c_m}} \end{array}oder\quad Ax = c$$ heißt lineares Gleichungssystem oder lineares (m, n) -System.

Eine (m, n)-Matrix A mit komplexen Elementen a _ik = b _ik + j · c _ik heißt komplexe Matrix ( _bik , c _ik ∈ ℝ; j: imaginäre Einheit): $$A = \left( {{a_{ik}}} \right) = \left( {{b_{ik}} + j\cdot{c_{ik}}} \right) = \left( {{b_{ik}}} \right) + \left( {{c_{ik}}} \right) = B + j \cdot C$$

Ist A eine n-reihige (reelle oder komplexe) Matrix und E die n-reihige Einheitsmatrix, so wird durch die Matrizengleichung $$Ax = \lambda x\quad oder\quad \left( {A - \lambda E} \right)x = 0$$ ein sog. n-dimensionales Eigenwertproblem beschrieben. Diese auch als Eigenwertgleichung bezeichnete Gleichung repräsentiert ein homogenes lineares Gleichungssystem mit dem noch unbekannten Parameter λ.

Eine komplexe Zahl z heißt eine n-te Wurzel aus a, wenn sie der algebraischen Gleichung zn = a genügt (a ∈ ℂ; n ∈ ℕ*). Symbolische Schreibweise: $${}^n\sqrt {\text{a}} $$

Der natürliche Logarithmus einer komplexen Zahl $$z = r \cdot {e^{j\varphi }} = r \cdot {e^{j\left( {\varphi + k \cdot 2\pi } \right)}}\quad \left( {0 \leqslant \varphi < 2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right)$$ (0 ≤ φ < 2π; k ∈ ℤ) ist unendlich vieldeutig2): $$\ln \;z = \ln \;r + j\left( {\varphi + k\cdot2\pi } \right)\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$

Die von einem reellen Parameter t abhängige komplexe Zahl $$z = z(t) = x(t) + j \cdot y(t)\quad (a \leqslant t \leqslant b)$$ heißt eine komplexwertige Funktion z (t) der reellen Variablen t.

Unter einer komplexen Funktion versteht man eine Vorschrift, die jeder komplexen Zahl z ∊ D genau eine komplexe Zahl w ∊ W zuordnet. Symbolische Schreibweise: w = f(z). D und W sind Teilmengen von ℂ.

Eine harmonische Schwingung vom Typ y = A • sin (ωt + φ) mit A > 0 und ω > 0 läßt sich in der Gaußschen Zahlenebene durch einen mit der Winkelgeschwindigkeit ω um den Nullpunkt rotierenden (und damit zeitabhängigen) komplexen Zeiger der Länge A darstellen (sog. Zeigerdiagramm): $$\underline y (t) = A \cdot {e^{j(\omega t + \varphi )}} = \underline A \cdot {e^{j\omega t}}$$$$\underline A = A \cdot {e^{j\varphi }}:\quad Komplexe\quad Amplitude$$$${e^{j\omega t}}:\quad Zeitfunktion$$

Unter einer Funktion von zwei unabhängigen Variablen versteht man eine Vorschrift, die jedem geordneten Zahlenpaar (x; y) aus einer Menge D genau ein Element z aus einer Menge W zuordnet. Symbolische Schreibweise: z = f(x; y).

Das Doppelintegral $$\iint\limits_{(A)} {f(x;y)dA}$$ läßt sich in anschaulicher Weise als das Volumen des in Bild a) skizzierten zylindrischen Körpers einführen, sofern f(x; y) ≥ 0 ist. Der „Boden“ des Zylinders besteht aus dem Bereich (A) der x, y-Ebene, sein „Deckel“ ist die Bildfläche der Funktion z = f(x; y).

Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heißt eine gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung.

Die in der nachfolgenden Tabelle zusammengestellten Differentialgleichungen 2. Ordnung lassen sich mit Hilfe geeigneter Substitutionen auf Differentialgleichungen 1. Ordnung zurückführen.

Das Federpendel dient als Modell für ein schwingungsfähiges mechanisches System: $$m\ddot x + b\ddot x + cx = F(t)$$m: Masseb: ReibungsfaktorC: FederkonstanteF (t): Von außen auf das System einwirkende (zeitabhängige) Kraft

Wir beschränken uns auf Systeme aus zwei inhomogenen linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten (gekoppelte Differentialgleichungen): $$\begin{array}{*{20}{c}} {{{y'}_1} = {a_{11}}{y_1} + {a_{12}}{y_1} + {g_1}(x)} \\ {{{y'}_2} = {a_{21}}{y_1} + {a_{22}}{y_2} + {g_2}(x)} \end{array}oder\quad y' = Ay + g(x)$$

Die Fehler- und Ausgleichsrechnung beschäftigt sich mit den zufälligen oder statistischen Meß- oder Beobachtungsfehlern auf der Grundlage der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik1). Die Meßgröße X ist daher im Sinne der mathematischen Statistik eine Zufallsvariable. Die Meßwerte und Meßfehler einer Meßreihe unterliegen dabei in der Regel der Gaußschen Normalverteilung mit der normierten Verteilungsdichtefunktion$$\varphi (x) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi \sigma } }} \cdot {e^{\frac{1}{2}{{\left( {\frac{{x - \mu }}{\sigma }} \right)}^2}}}$$

Die normalverteilte Meßreihe x₁, x₂,..., x _n bestehe aus n unabhängigen Meßwerten gleicher Genauigkeit (gleiche Meßmethode, gleiches Meßinstrument, gleicher Beobachter).

Das lineare Fehlerfortpflanzungsgesetz liefert eine obere Fehlerschranke für den (absolu­ten) Fehler einer von mehreren Meßgrößen abhängigen „indirekten“ Meßgröße (Fehlerabschätzung mit Hilfe des totalen Differentials). Diese Fehlerschranke wird als maximaler oder größtmöglicher Fehler oder maximale Meßunsicherheit des Mittelwertes bezeichnet.

Unter einer Ausgleichskurve versteht man eine Kurve, die sich n vorgegebenen Meßpunkten P _i = (x _i , y _i ) mit i = 1, 2, ..., n „optimal“ anpaßt:

Die Laplace-Transformation ist eine Integraltransformation. Sie ordnet einer (in den An­wendungen meist zeitabhängigen) Funktion f(t) mit f(t) = 0 für t < 0 wie folgt eine Funktion F (s) der (komplexen) Variablen s zu: $$F(s) = \int\limits_0^\infty {f(t).{e^{ - st}}} dt\quad ({\text{Re}}(s) > 0)$$

Für die Laplace-Transformierte einer Linearkombination von Originalfunktionen gilt: $$\begin{array}{*{20}{c}} {L\left\{ {{C_1} \cdot {f_1}(t) + {C_2} \cdot {f_2}(t) + ... + {C_n} \cdot {f_n}\left( t \right)} \right\} = } \\ {{C_1} \cdot L\left\{ {{f_1}\left( t \right)} \right\} + {C_2} \cdot L\left\{ {{f_2}\left( t \right)} \right\} + ... + {C_n} \cdot L\left\{ {{f_n}\left( t \right)} \right\}} \end{array}$$

Die Laplace-Transformierte F (s) einer periodischen Funktion f(t) lautet2): $$F\left( s \right) = \frac{1}{{1 - {e^{ - sT}}}} \cdot \int\limits_0^T {f\left( u \right) \cdot {e^{ - su}}du} $$

Eine (gewöhnliche) lineare Differentialgleichung (Dgl) mit konstanten Koeffizienten und vorgegebenen Anfangswerten (Anfangswertproblem) läßt sich mit Hilfe der Laplace-Transformation wie folgt lösen:

Eine ebene oder räumliche Kurve wird durch einen parameterabhängigen Ortsvektor $$\vec r = \vec r\left( t \right)$$ beschrieben (t: reeller Kurvenparameter mit t₁ < t < t₂). Die Vektorkoordinaten sind dabei stetige Funktionen von t.

Ein Skalarfeld ordnet jedem Punkt P eines ebenen oder räumlichen Bereiches in eindeutiger Weise einen Skalar zu : Ebenes bzw. räumliches Skalarfeld$$\phi \left( {\text{P}} \right) = \phi ({\text{x}};y)\quad {\text{bzw}}.\quad \phi \left( P \right) = \phi ({\text{x}};{\text{y}};z)$$Stationäres Feld: Das skalare Feld verändert sich nicht im Laufe der Zeit, ist also zeitunabhängig.Niveau- oder Äquipotentialflächen: Flächen im Raum, auf denen das Skalarfeld einen konstanten Wert annimmt: ∅ (x;y;z) = const.Niveaulinien eines ebenen Skalarteldes: Kurven, auf denen das Skalarfeld einen konstanten Wert annimmt: ∅(x;y) = const.

Die Polarkoordinaten r, φ eines Punktes P der Ebene bestehen aus einer Abstandskoordinate r und einer Winkelkoordinate φ (Bild a)) : r: Abstand des Punktes P vom Koordinatenursprung $$O(r \geqslant 0)$$φ : Winkel zwischen dem Ortsvektor $$\overrightarrow r = \overrightarrow {OP} $$ des Punktes P und der positiven x-Achse (Hauptwert: $$0 \leqslant \varphi < 2\pi $$ bzw. $${0^ \circ } \leqslant \varphi < {\text{36}}{0^ \circ }$$.

F = F (x; y) sei ein ebenes Vektorfeld, $$\vec r{\text{ }} = {\text{ }}\vec r\left( t \right)$$ der Ortsvektor einer von P₁ nach P₂ verlaufenden ebenen Kurve C mit $${t_{\text{1}}} \leqslant t \leqslant {t_{\text{2}}}$$ und $$\vec r{\text{ }} = {\text{ }}\vec r\left( t \right)$$ der zugehörige Tangentenvektor der Kurve.

Der „Fluß“ eines Vektorfeldes F = F (x; y; z) durch eine orientierte Fläche A wird durch das als Oberflächenintegral bezeichnete Integral $$\iint\limits_{\left( A \right)} {\vec F \cdot d\vec A = \iint\limits_{\left( A \right)} {(\vec F \cdot \vec N})dA}$$ beschrieben.

Der Gaußsche Integralsatz im Raum stellt eine Verbindung her zwischen einem Oberflächen- und einem Volumenintegral Er lautet wie folgt: „Das Oberflächenintegral eines räumlichen Vektorfeldes $$\vec F = \vec F\left( {x;y;z} \right)$$ über eine geschlossene Fläche A ist gleich dem Volumenintegral der Divergenz von F, erstreckt über das von der Fläche A eingeschlossene Volumen V“: $$\mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_{(A)} {\left( {\vec F \cdot \vec N} \right)dA} = \mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_{(A)} {\vec F \cdot d\vec A = } \iiint\limits_{\left( V \right)} {div}\quad \vec F\quad dV$$