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Erschienen in:

2020 | OriginalPaper | Buchkapitel

32. „Neues Supplement“

verfasst von : Katrin Scheel

Erschienen in: Dedekinds Theorie der ganzen algebraischen Zahlen

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

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SUB Göttingen, Cod. Ms. R. Dedekind VII 9.

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Vorheriges Kapitel Moduln in quadratischen Körpern (§ 187.)

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Bedeutung des Zeichens $=$; Identität.

$\alpha \beta $ und $\beta \alpha $ im Allgemeinen verschieden.

II so auszusprechen: Sind $\alpha $, $\beta $, $\gamma $ Elemente von G, so folgen aus jeder der drei Aussagen $\beta =\gamma $, $\alpha \beta =\alpha \gamma $, $\beta \alpha =\gamma \alpha $ die beiden anderen.

Die Complexe A, B, $C\ldots $ sollen fremd oder getrennt heißen, wenn kein Element zweien von ihnen angehört; dann gilt dasselbe von $A\lambda $, $B\lambda $, $C\lambda \ldots $ und ebenso von $\lambda A$, $\lambda B$, $\lambda C\ldots $

Immer soll ein Complex A aus verschiedenen Elementen bestehen. Bequemer Ausdruck: Grad eines Complexes ist die Anzahl der verschiedenen Elemente.

Zufolge II ist die Anzahl der Elemente von AB mindestens ebenso groß wie die der Elemente von A, und die der Elemente von B. $GG=G$. Zu gegebenen Elementen $\alpha $, $\omega $ gehört immer ein einziges Element $\beta $ und ein einziges Element $\gamma $ von der Art $\alpha \beta =\gamma \alpha =\omega $.

Ausdehnung der Potenz $\alpha ^n$ für $n=0$ und $n<0$ durch $\alpha ^0=\varepsilon $, $\alpha ^{-n}=(\alpha ^{-1})^n$; allgemein ist dann

$\left\{ \begin{array}{rcl} \alpha ^{m+n}&{}=&{}\alpha ^m\alpha ^n=\alpha ^n\alpha ^m\\ (\alpha ^m)^n&{}=&{}\alpha ^{mn} \end{array}\right\} $

Besser: In der Reihe der Potenzen müssen Wiederholungen vorkommen: $\alpha ^{m+n}=\alpha ^m$; darauf $\alpha ^n=\varepsilon $; a der kleinste solche Exponent; dann ist $\alpha ^r=\alpha ^s$ gleichbedeutend mit $\pi \equiv s\ (\text{ mod. } a)$; Ausdehnung auf [..] $\alpha ^{-1}=\alpha ^{a-1}$ (wie in D. §. 127).

Inverse Elemente $\alpha $, $\alpha ^{-1}$. Sind $\alpha $, $\beta $ verschieden, so sind auch $\alpha ^{-1}$, $\beta ^{-1}$ verschieden.

Sind A, B Gruppen, so bezeichnen wir deren Durchschnitt mit $A-B$; ihr kleinstes gem. Multiplum ist $[AB]=[BA]$.

Ist A eine Gruppe, $\omega $ ein Element in G, so ist auch $\omega A\omega ^{-1}$ eine Gruppe (conjugirt und isomorph mit A; sieht man $\alpha '=\omega \alpha \omega ^{-1}$ als Bild von $\alpha $ an, so ist $(\alpha _1\alpha _2)'=\alpha _1'\alpha _2')$. Ist $A=\beta A\beta ^{-1}$ für jedes Element $\beta $ der Gruppe B, so heiße A normal zu B; ist A zugleich ein Theiler von B, so heiße A ein Normaltheiler von B ([...] „ausgezeichneter“ (Klein) oder „invarianter“ (Frobenius) Theiler von B).

Zu specialisiren für $A=\varepsilon $ oder $B=\varepsilon $!!!

$(\varepsilon , A)$ Grad der Gruppe A und jedes Complexes $A\beta _r$ oder $\beta _1^{-1}A$, also $(\varepsilon , A)(A, B)$ Grad von AB und auch von BA, also auch $\begin{array}{c} (\varepsilon , A)(A, B)=(\varepsilon , B)(B, A).\\ =(\varepsilon , C')(C', A)(C', B) \end{array}$

$(A, B)=1$ ist gleichbedeutend mit $AB=A$, d. h. B Theiler von A.

Das AB und BA denselben Grad haben, folgt auch unmittelbar daraus, dass AB auch der Complex aller verschiedenen Producte $\alpha ^{-1}\beta ^{-1}=(\beta \alpha )^{-1}$ ist, und dass je zwei verschiedene Elemente $\omega $ auch verschiedene inverse Elemente $\omega ^{-1}$ haben. Jede Gruppe von Elementen $\alpha $ ist zugleich der Complex aller inversen Elemente $\alpha ^{-1}$.

Ein Product AB von zwei Gruppen A, B ist dann und nur dann eine Gruppe wenn $AB=BA$ ist, und dies ist zugleich $=[AB]$.

Vergl. meine Abhandlung: Über die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe (Math. Annalen, Bd. 53, §. 8), wo ich am Schluss die behandelten Eigenschaften derjenigen Gruppen G hervorgehoben habe, deren sämmtliche Theiler A, B, $C\ldots $ permutabel sind. Sie sind später genauer behandelt von ...

In ihnen gilt wenn B ein Theiler von C, und A eine beliebige Gruppe ist, ihr Gesetz

$$\begin{aligned} (A-C)B=AB-C \end{aligned}$$

welches dem Modulgesetz in der Theorie der Modulgruppen entspricht (§.)

Ersetzt man das Zeichen AB durch $A\times B$, so lautet dieser Ansatz

$$\begin{aligned} (A-C)\times B=(A\times B)-C, \end{aligned}$$

wodurch der Dualismus zwischen $\times $ und − deutlicher hervortritt.

Ohne Einführung von $\varphi $, $\psi $ kurz:

$$\begin{aligned} s((\alpha \beta ))\gamma )&=(s(\alpha \beta ))\gamma =((s\alpha )\beta )\gamma \\ s(\alpha (\beta \gamma ))&=(s\alpha )(\beta \gamma )=((s\alpha )\beta )\gamma \end{aligned}$$

also Association $(\alpha \beta )\gamma =\alpha (\beta \gamma )=\alpha \beta \gamma $ und $s(\alpha \beta )=s\alpha \beta $, $s(\alpha \beta \gamma )=s\alpha \beta \gamma $.

Titel: „Neues Supplement“
verfasst von: Katrin Scheel
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Buch: Dedekinds Theorie der ganzen algebraischen Zahlen
Print ISBN: 978-3-658-30927-5

Electronic ISBN: 978-3-658-30928-2

Copyright-Jahr: 2020
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-30928-2_32

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