8. Nichtlineare Diffusion

Zahlreiche Diffusionsvorgänge in Physik, Chemie und Biologie lassen sich wie im vorherigen Kapitel dargestellt durch lineare Diffusionsgleichungen vom Langevin- oder Fokker-Planck-Typ beschreiben. Die Gleichgewichtsverteilungen, die für \(t\rightarrow\infty\) erreicht werden, sind hier Maxwell-Boltzmann-Verteilungen oder – im Fall relativistischer Systeme – Maxwell-Jüttner-Verteilungen. Dies ist jedoch nicht der Fall in Diffusionsprozessen, bei denen die Quantennatur der Teilchen eine Rolle spielt: In diesem Fall sind die Gleichgewichtsverteilungen Bose-Einstein-Verteilungen für Bosonen und Fermi-Dirac-Verteilungen für Fermionen. Der Weg zum statistischen Gleichgewicht lässt sich dann nicht mehr durch lineare Gleichungen beschreiben, sondern mithilfe einer Nichtlinearität im Driftterm. Die in vorherigen Kapiteln dargestellten einfachen Lösungsverfahren über Fourier-Transformation reichen nicht aus – die Lösung des Nichtgleichgewichtsproblems wird wesentlich schwieriger. In einigen Spezialfällen lassen sich dennoch analytische Lösungen finden, die in diesem Kapitel dargestellt und auch mit numerischen Lösungen verglichen werden. Diese Lösungen sind sowohl bei hohen relativistischen Energien anwendbar – wie bei der Equilibrierung von Gluonen (Trägerteilchen der starken Wechselwirkung) und Quarks im Anfangsstadium relativistischer Schwerionenkollisionen –, als auch bei sehr niedrigen Energien und Temperaturen, wie bei der zeitabhängigen Bildung eines Bose-Einstein-Kondensats aus kalten Atomen. Beispiele für beide Gebiete werden vorgestellt und für kalte Quantengase mit experimentellen Ergebnissen verglichen.