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Erschienen in:
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2018 | OriginalPaper | Buchkapitel

On Hasse–Schmidt Derivations: The Action of Substitution Maps

verfasst von : Luis Narváez Macarro

Erschienen in: Singularities, Algebraic Geometry, Commutative Algebra, and Related Topics

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

We study the action of substitution maps between power series rings as an additional algebraic structure on the groups of Hasse–Schmidt derivations. This structure appears as a counterpart of the module structure on classical derivations.

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Fußnoten
1
Pay attention that (φ + φ′)(r) ≠ φ(r) + φ′(r) for arbitrary r ∈ A[[s]]∇.
 
2
Let us notice that there are canonical continuous isomorphisms of A-algebras \(A[[{\mathbf {s}}\sqcup {\mathbf {u}}]]_{\nabla \times \nabla '} \simeq A[[{\mathbf {s}}]]_\nabla \widehat {\otimes }_A A[[{\mathbf {u}}]]_{\nabla '}\), \(A[[{\mathbf {s}}\sqcup {\mathbf {u}}]]_{\varDelta \times \varDelta '} \simeq A[[{\mathbf {s}}]]_\varDelta \widehat {\otimes }_A A[[{\mathbf {u}}]]_{\varDelta '}\).
 
3
This terminology is used for instance in [8].
 
4
These HS-derivations are called of length m in [10].
 
5
Actually, here an equality holds since the 0-term of E (as a series) is 1.
 
6
Let us notice that \(\{E\in \operatorname {\mathrm {HS}}^{\mathbf {s}}_k(A;\varDelta )\ |\ \ell (E) > r\} = \ker \tau _{\varDelta ,\varDelta _r}\).
 
7
The map π can be also understood as the truncation τ Δ,{0} : A[[t]]Δ → A[[t]]{0} = A.
 
Literatur
1.
2.
Bourbaki, N.: Elements of Mathematics. Algebra II, chaps. 4–7. Springer, Berlin (2003)CrossRef
3.
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Hasse, H., Schmidt, F.K.: https://​doi.​org/​Noch eine Begründung der Theorie der höheren Differrentialquotienten in einem algebraischen Funktionenkörper einer Unbestimmten. J. Reine U. Angew. Math. 177, 223–239 (1937)
5.
6.
Hoffmann, D., Kowalski, P.: https://​doi.​org/​Existentially closed fields with G-derivations. J. Lond. Math. Soc. (2) 93(3), 590–618 (2016)
7.
8.
Matsumura, H.: Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 8. Cambridge University Press, Cambridge (1986)
9.
Narváez Macarro, L.: https://​doi.​org/​Hasse–Schmidt derivations, divided powers and differential smoothness. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 59(7), 2979–3014 (2009). arXiv:​0903.​0246
10.
Narváez Macarro, L.: On the modules of m-integrable derivations in non-zero characteristic. Adv. Math. 229(5), 2712–2740 (2012). arXiv:​1106.​1391
11.
12.
13.
Vojta, P.: Jets via Hasse–Schmidt derivations. In: Diophantine geometry. CRM Series, vol. 4, pp. 335–361. Edizioni della Normale, Pisa (2007). arXiv:​math/​1201.​3594
Metadaten
Titel
On Hasse–Schmidt Derivations: The Action of Substitution Maps
verfasst von
Luis Narváez Macarro
Copyright-Jahr
2018
Buch
Singularities, Algebraic Geometry, Commutative Algebra, and Related Topics

Print ISBN: 978-3-319-96826-1

Electronic ISBN: 978-3-319-96827-8

Copyright-Jahr: 2018

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-319-96827-8_10

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    Bildnachweise