Skip to main content
Fachgebiete
Automobil + Motoren Bauwesen + Immobilien Business IT + Informatik Elektrotechnik + Elektronik Energie + Nachhaltigkeit Finance + Banking Management + Führung Marketing + Vertrieb Maschinenbau + Werkstoffe Versicherung + Risiko
DE
EN
Bücher
Zeitschriften
Themenseiten
Organisationspsychologie Projektmanagement Marketing Smart Manufacturing
Weitere Formate
Podcasts Webinare Technik Webinare Wirtschaft Kongresse Veranstaltungskalender Awards
Jetzt Einzelzugang starten
Zugang für Unternehmen
Referenzkunden
SLX-Digitalkonferenz: Zukunftswerkstatt 2024

Mehr Umsatz mit Top-Kontakten

Am 7. Mai erfahren Sie, wie Vertriebsteams Leadgenerierung, Leadnurturing und Leadstrategien effizient steuern können.
Erweiterte Suche
Anmelden
nach oben
Erschienen in:
Simple Proofs of Some Bernstein–Mordell Type Inequalities Kapitel lesen Erstes Kapitel lesen

2014 | OriginalPaper | Buchkapitel

One Hundred Years Uniform Distribution Modulo One and Recent Applications to Riemann’s Zeta-Function

verfasst von : Jörn Steuding

Erschienen in: Topics in Mathematical Analysis and Applications

Verlag: Springer International Publishing

Einloggen

Aktivieren Sie unsere intelligente Suche, um passende Fachinhalte oder Patente zu finden.

search-config
loading …

Abstract

We start with a brief account of the theory of uniform distribution modulo one founded by Weyl and others around 100 years ago (which is neither supposed to be complete nor historically depleting the topic). We present a few classical implications to diophantine approximation. However, our main focus is on applications to the Riemann zeta-function. Following Rademacher and Hlawka, we show that the ordinates of the nontrivial zeros of the zeta-function ζ(s) are uniformly distributed modulo one. We conclude with recent investigations concerning the distribution of the roots of the equation ζ(s) = a, where a is any complex number, and further questions about such uniformly distributed sequences.

Sie haben noch keine Lizenz? Dann Informieren Sie sich jetzt über unsere Produkte:

Springer Professional "Wirtschaft+Technik"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft+Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

  • über 102.000 Bücher
  • über 537 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

  • Automobil + Motoren
  • Bauwesen + Immobilien
  • Business IT + Informatik
  • Elektrotechnik + Elektronik
  • Energie + Nachhaltigkeit
  • Finance + Banking
  • Management + Führung
  • Marketing + Vertrieb
  • Maschinenbau + Werkstoffe
  • Versicherung + Risiko

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren

Springer Professional "Technik"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

  • über 67.000 Bücher
  • über 390 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

  • Automobil + Motoren
  • Bauwesen + Immobilien
  • Business IT + Informatik
  • Elektrotechnik + Elektronik
  • Energie + Nachhaltigkeit
  • Maschinenbau + Werkstoffe




 

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren

Springer Professional "Wirtschaft"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft" erhalten Sie Zugriff auf:

  • über 67.000 Bücher
  • über 340 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

  • Bauwesen + Immobilien
  • Business IT + Informatik
  • Finance + Banking
  • Management + Führung
  • Marketing + Vertrieb
  • Versicherung + Risiko




Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren
Vorheriges Kapitel Hyperbolic Wavelets
Nächstes Kapitel On the Energy of Graphs
Fußnoten
1
The English translation is taken from [92].
 
2
The English translation is taken from [92].
 
3
This is the author’s free translation of the original German text: “Wir denken uns nun einen einseitig unbegrenzten Faden und nehmen auf demselben eine unbegrenzte Zahl von Knoten in der Weise an, daß der erste Knoten mit dem Fadenende zusammenfällt, während die übrigen im Abstände r > 0 der Reihe nach aufeinander folgen. (…) Auf einem Kreise vom Umfang 1 nehmen wir (…) eine Strecke AB von der Länge s (0 < s < 1) an und wickeln den Faden von irgendeinem Punkte ausgehend auf die Peripherie auf. Die Anzahl derjenigen unter den n ersten Knoten, welche bei der Aufwickelung auf der Strecke AB liegen, bezeichnen wir mit \(\varphi (n)\). (…) Ist r eine Irrationalzahl, so folgt (…) \(\lim _{n\rightarrow \infty }\frac{\varphi (n)} {n} = s\)”.
 
4
This is the author’s free translation of the original German text: “Die Behauptung, daß diese Punktfolge überall dicht liegt, ist der Inhalt eines berühmten Approximationssatzes von Kronecker. Das vorliegende viel schärfere Theorem ist zuerst im Sommer 1913 von mir in einem Vortrag in der Göttinger Mathematischen Gesellschaft aufgestellt und ähnliche Weise wie hier bewiesen worden”.
 
5
Eidgenössische Hochschule Zürich (ETH).
 
6
A precise date is impossible because this entry is without date, however, comparing with other date entries one may deduce that Hurwitz wrote this in between April 2 and April 30.
 
7
Recently, H. Helfgott published an article “Major arcs for Goldbach’s theorem” (see arXiv:1305.2897) and another article “Numerical Verification of the Ternary Goldbach Conjecture up to 8.875e30” (see arXiv:1305.3062) which is joint work with D.J. Platt; both pieces together imply the full ternary Goldbach conjecture provided that there is no serious gap in their reasoning.
 
8
“Die gütige Mittheilung Ihrer Bemerkungen über die Frequenz der Primzahlen ist mir in mehr als einer Beziehung interessant gewesen. Sie haben mir meine eigenen Beschäftigungen mit demselben Gegenstande in Erinnerung gebracht, deren erste Anfänge in eine sehr entfernte Zeit fallen, ins Jahr 1792 oder 1793, wo ich mir die Lambertschen Supplemente zu den Logarithmentafeln angeschafft hatte. Es war noch ehe ich mit feineren Untersuchungend er höheren Arithmetik mich befasst hatte eines meiner ersten Geschäfte, meine Aufmerksamkeit auf die abnehmende Frequenz der Primzahlen zu richten, zu welchem Zweck ich die einzelnen Chiliaden abzählte, und die Resultate auf einem der angehefteten weissen Blätter verzeichnete. Ich erkannte bald, dass unter allen Schwankungen diese Frequenz durchschnittlich nahe dem Logarithmen verkehrt proportional sei, so dass die Anzahl aller Primzahlen unter einer gegebenen Grenze n nahe durch das Integral \(\int \frac{\,\mathrm{d}n} {\log n}\) ausgedrückt werde, wenn der hyperbolische Logarithm. verstanden werde”.
 
9
The original German text is: “und es ist wahrscheinlich, daß alle Wurzeln den Realteil 1∕2 haben: Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien”.
 
10
A different approach to results around the sum of terms \(\vert \beta -\frac{1} {2}\vert\) is due to Kondratyuk [54] based on a variant of the Carleman–Nevanlinna theorem.
 
11
Defined by continuous variation from the principal branch of the logarithm on the real axis.
 
12
“Der Referent [Hlawka] wurde von Herrn Bundschuh aufmerksam gemacht, daß auch P.D.T.A. Elliott (…) diese Tatsache bemerkt hat”.
 
13
Note that the notion of Jordan content is more restrictive than the notion of Lebesgue measure. But, if the Jordan content exists, then it is also defined in the sense of Lebesgue and equal to it.
 
14
“Ich komme jetzt zu einigen anderen Untersuchungen über ζ(s). Es sind bei einer analytischen Funktion die Punkte, an denen sie 0 ist, zwar sehr wichtig; ebenso interessant sind aber die Punkte, an denen sie einen bestimmten Wert a annimmt. Zu beweisen, dass ζ(s) jeden Wert a annimmt, ist ein leichtes. Wo liegen aber die Wurzeln von ζ(s) = a?”
 
15
And we shall make use of both results later on!
 
16
“Die Überlegungen lassen sich auf L-Reihen wie auf die Dedekindsche Zetafunktion übertragen. (…) Interessant wäre es, dies auf andere Zetafunktionen, wie z.B. auf die \(\sum \frac{\tau (n)} {n^{s}}\) auszudehnen, wo τ die bekannte Ramanujansche Funktion ist.”
 
Literatur
1.
Akbary, A., Murty, M.R.: Uniform distribution of zeros of Dirichlet series. In: De Koninck, Jean-Marie, et al. (eds.) Anatomy of Integers, CRM Workshop, Montreal, 13–17 March 2006. CRM Proceedings and Lecture Notes, vol. 46, pp. 143–158 (2008)MathSciNet
2.
Beck, J.: Super-uniformity of the typical billiard path. In: Bárány, I., Solymosi, J. (eds.) An Irregular Mind: Szemerédi is 70, pp. 39–130. Springer, Berlin (2010)CrossRef
3.
Benford, F.: The law of anomalous numbers. Proc. Am. Philos. Soc. 78, 551–572 (1938)
4.
Bernstein, F.: Über eine Anwendung der Mengenlehre auf ein aus der Theorie der säkularen Störungen herrührendes problem. Math. Ann. 71, 417–439 (1912)CrossRefMATH
5.
Binder, C., Hlawka, E.: Über die Entwicklung der Theorie der Gleichverteilung in den Jahren 1909 bis 1916. Arch. Histor. Exact Sci. 36, 197–249 (1986)MathSciNetCrossRefMATH
6.
Birkhoff, G.D.: Proof of the ergodic theorem. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 17, 656–660 (1931)CrossRef
7.
Bohl, P.: Über ein in der Theorie der säkularen Störungen vorkommendes problem. J. f. Math. 135, 189–283 (1909)MATH
8.
Bohr, H., Courant, R.: Neue Anwendungen der Theorie der diophantischen Approximationen auf die Riemannsche Zetafunktion. J. für reine angew. Math. 144, 249–274 (1914)MATH
9.
Bohr, H., Landau, E., Littlewood, J.E.: Sur la fonction ζ(s) dans le voisinage de la droite \(\sigma = \frac{1} {2}\). Bulletin de l’Académie Royale de Belgique, 3–35 (1913)
10.
Bugeaud, Y.: Distribution Modulo One and Diopahntine Approximation. Cambridge University Press, Cambridge (2012)CrossRef
11.
Bui, H.M., Conrey, B., Young, M.P.: More than 41% of the zeros of the zeta function are on the critical line. Acta Arith. 150, 35–64 (2011)MathSciNetCrossRefMATH
12.
de Bruijn, N.G., Post, K.A.: A remark on uniformly distributed sequences and Riemann integrability. Indagationes math. 30, 149–150 (1968)
13.
de la Vallée-Poussin, C.J.: Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers, I-III. Ann. Soc. Sci. Bruxelles 20, 183–256, 281–362, 363–397 (1896)
14.
Denjoy, A.: L’Hypothèse de Riemann sur la distribution des zéros de ζ(s), reliée à la théorie des probabilités. C. R. Acad. Sci. Paris 192, 656–658 (1931)
15.
16.
Edwards, H.M.: Riemann’s Zeta Function. Academic, New York (1974)MATH
17.
Egami, S., Matsumoto, K.: Convolutions of the von Mangoldt function and related Dirichlet series. In: Number Theory, pp. 1–23. World Scientific Publisher, Singapore (2007)
18.
Einsiedler, M., Ward, T.: Ergodic Theory: With a View Towards Number Theory. Springer, Berlin (2010)
19.
Elliott, P.D.T.A.: The Riemann zeta function and coin tossing. J. Reine Angew. Math. 254, 100–109 (1972)MathSciNetMATH
20.
Elliott, P.D.T.A.: Probabilistic Number Theory. I. Mean-Value Theorems. Springer, New York (1979)CrossRefMATH
21.
Ford, K., Zaharescu, A.: On the distribution of imaginary parts of zeros of the Riemann zeta function. J. Reine Angew. Math. 579, 145–158 (2005)MathSciNetCrossRefMATH
22.
Ford, K., Soundararajan, K., Zaharescu, A.: On the distribution of imaginary parts of zeros of the Riemann zeta function. II. Math. Ann. 343, 487–505 (2009)MathSciNetCrossRefMATH
23.
Fujii, A.: On the zeros of Dirichlet L-functions. III. Trans. Am. Math. Soc. 219, 347–349 (1976)MATH
24.
Fujii, A.: On the uniformity of the distribution of the zeros of the Riemann zeta function. J. Reine Angew. Math. 302, 167–205 (1978)MathSciNetMATH
25.
26.
Fujii, A.: On a theorem of Landau. II. Proc. Jpn Acad. 66, 291–296 (1990)CrossRef
27.
Fujii, A.: Uniform distribution of the zeros of the Riemann zeta-function and the mean value theorems of Dirichlet L-functions. II. In: Analytic Number Theory, Tokyo 1988. Lecture Notes in Mathematics, vol. 1434, pp. 103–125. Springer, Berlin (1990)
28.
Fujii, A.: An additive theory of the zeros of the Riemann zeta function. Proc. Jpn. Acad. 66, 105–108 (1990)CrossRefMATH
29.
Fujii, A.: On the discrepancy estimates of the zeros of the Riemann zeta function. Comment. Math. Univ. St. Pauli 51, 19–51 (2002)MATH
30.
Garunkštis, R., Steuding, J.: On the roots of the equation ζ(s) = a. Abhandlungen Math. Sem. Univ. Hamburg 84, 1–15 (2014). arXiv:1011.5339
31.
Garunkštis, R., Šimėnas, R., Steuding, J.: On the distribution of the a-points of the Selberg zeta-function (submitted)
32.
Gonek, S.M.: A formula of Landau and mean values of ζ(s). In: Graham, S.W., Vaaler, J.D. (eds.) Topics in Analytic Number Theory, pp. 92–97. University of Texas Press, Austin (1985)
33.
Gonek, S.M.: An explicit formula of Landau and its applications to the theory of the zeta-function. Contemp. Math. 143, 395–413 (1993)MathSciNetCrossRef
34.
Gonek, S.M., Lester, S.J., Milinovich, M.B.: A note on simple a-points of L-functions. Proc. Am. Math. Soc. 140, 4097–4103 (2012)MathSciNetCrossRefMATH
35.
Hadamard, J.: Étude sur le propiétés des fonctions entières et en particulier d’une fonction considérée par Riemann. J. Math. Pures Appl. 9, 171–215 (1893)MATH
36.
Hadamard, J.: Sur les zéros de la fonction ζ(s) de Riemann. C. R. Acad. Sci. Paris 122, 1470–1473 (1896)MATH
37.
Hardy, G.H.: Sur les zéros de la fonction ζ(s) de Riemann. C. R. Acad. Sci. Paris 158, 1012–1014 (1914)MATH
38.
Hardy, G.H., Littlewood, J.E.: Some problems of diophantine approximation. In: Proceedings of the 5th International Congress of Mathematicians, Cambridge, pp. 223–229 (1913)
39.
Hardy, G.H., Littlewood, J.E.: Some problems of diophantine approximation. I. The fractional part of n k Θ. II. The trigonometrical series associated with the elliptic θ-functions. Acta Math. 37, 155–191, 193–239 (1914)
40.
Hardy, G.H., Riesz, M.: The General Theory of Dirichlet’s Series. Cambridge University Press, Cambridge (1952)
41.
Hardy, G.H., Wright, E.M.: An Introduction to the Theory of Numbers, 5th edn. Clarendon Press, Oxford (1979)MATH
42.
43.
Hille, E.: A problem in “Factorisation Numerorum”. Acta Arith. 2, 134–144 (1936)
44.
Hlawka, E.: Über die Gleichverteilung gewisser Folgen, welche mit den Nullstellen der Zetafunktion zusammenhängen. Österr. Akad. Wiss., Math.-Naturw. Kl. Abt. II 184, 459–471 (1975)MathSciNet
45.
Hlawka, E.: Theorie der Gleichverteilung. Bibliographisches Institut, Mannheim (1979)MATH
46.
Hurwitz, A.: Die Mathematischen Tagebücher und der übrige handschriftliche Nachlass von Adolf Hurwitz. Handschriften und Autographen der ETH-Bibliothek (1972). Available at http://​www.​e-manuscripta.​ch/​
47.
48.
Ivić, A.: The Theory of Hardy’s Z-Function. Cambridge University Press, Cambridge (2013)
49.
Jakhlouti, M.-T., Mazhouda, K., Steuding, J.: Distribution uniform modulo one of the a-values of L-functions in the Selberg class (submitted)
50.
51.
Kaczorowski, J., Languasco, A., Perelli, A.: A note on Landau’s formula. Funct. Approx. Comment. 28, 173–186 (2000)MathSciNetMATH
52.
53.
Koksma, J.F.: Ein mengentheoretischer Satz über die Gleichverteilung modulo 1. Compositio Math. 2, 250–258 (1935)MathSciNet
54.
Kondratyuk, A.A., Carleman-Nevanlinna, A.: Theorem and summation of the Riemann zeta-function logarithm. Comput. Methods Funct. Theory 4, 391–403 (2004)MathSciNetCrossRefMATH
55.
Kontorovich, A.V., Miller, S.J.: Benford’s law, values of L-functions and the 3x + 1 problem. Acta Arith. 120, 269–297 (2005)MathSciNetCrossRefMATH
56.
Korobov, N.M.: Estimates of trigonometric sums and their applications. Uspehi Mat. Nauk 13, 185–192 (1958) (Russian)MathSciNetMATH
57.
Kronecker, L.: Die Periodensysteme von Funktionen reeller Variablen, pp. 1071–1080. Berichte d. K. Preuß. Ak. d. Wiss, Berlin (1884)
58.
Kuipers, L., Niederreiter, H.: Uniform Distribution of Sequences. Wiley, New York (1974)MATH
59.
60.
Landau, E.: Gelöste und ungelöste Probleme aus der Theorie der Primzahlverteilung und der Riemannschen Zetafunktion. Proceedings of Fifth International Mathematics Congress, vol. 1, pp. 93–108 (1913)
61.
Landau, E.: Über den Wertevorrat von ζ(s) in der Halbebene σ > 1. Nachr. Ges. Wiss. Göttingen 36, 81–91 (1933)
62.
Laurinčikas, A.: Limit Theorems for the Riemann Zeta-Function. Kluwer Academic, Dordrecht (1996)CrossRef
63.
Levinson, N.: More than one third of Riemann’s zeta-function are on \(\sigma = \frac{1} {2}\). Adv. Math. 13, 383–436 (1974)MathSciNetCrossRefMATH
64.
Levinson, N.: Almost all roots of ζ(s) = a are arbitrarily close to σ = 1∕2. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 72, 1322–1324 (1975)
65.
Littlewood, J.E.: On the zeros of the Riemann zeta-function. Proc. Camb. Philos. Soc. 22, 295–318 (1924)CrossRefMATH
66.
Littlewood, J.E.: In: Bollobás, B. (ed.) Littlewood’s Miscellany. Cambridge University Press, Cambridge (1967)
67.
Mertens, F.: Über eine zahlentheoretische Funktion. Sem.ber. Kais. Akad. Wiss. Wien 106, 761–830 (1897)MATH
68.
Miklavc, A.: Elementary proofs of two theorems on the distribution of numbers n θ (mod1). Proc. Am. Math. Soc. 39, 279–280 (1973)MathSciNetMATH
69.
Murty, M.R., Murty, V.K.: Strong multiplicity one for Selberg’s class. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 319, 315–320 (1994)MATH
70.
71.
Odlyzko, A.M., te Riele, H.J.J.: Disproof of Mertens conjecture. J. Reine Angew. Math. 367, 138–160 (1985)
72.
Pólya, G.: Handwritten Note, Courtesy of the Niedersächsische Staats- und Landesbibliothek Göttingen, Nachlaß Adolf Hurwitz (1921)
73.
Rademacher, H.A.: Fourier analysis in number theory, symposium on harmonic analysis and related integral transforms, Cornell University, Ithaca, 1956. In: Collected Papers of Hans Rademacher, vol. II, pp. 434–458. Massachusetts Institute of Technology, Cambridge (1974)
74.
Riemann, B.: Über die Anzahl der Primzahlen unterhalb einer gegebenen Grösse, pp. 671–680. Monatsber. Preuss. Akad. Wiss, Berlin (1859)
75.
Rosenthal, A.: Beweis der Unmöglichkeit ergodischer Gassysteme. Ann. Physik 42, 796–806 (1913)CrossRefMATH
76.
Rosenthal, A.: Aufbau der Gastheorie mit Hilfe der Quasiergodenhypothese. Ann Physik 43, 894–904 (1914)CrossRefMATH
77.
Schwarz, W.: Some remarks on the history of the prime number theorem from 1896 to 1960. In: Pier, J.-P. (ed.) Development of Mathematics 1900–1950, pp. 565–615. Birkhäuser, Basel (1994) (Symposium Luxembourg 1992)
78.
Selberg, A.: On the zeros of the Riemann zeta-function. Skr. Norske Vid. Akad. Oslo 10, 1–59 (1942)
79.
Selberg, A.: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. In: Bombieri, E., et al. (eds.) Proceedings of the Amalfi Conference on Analytic Number Theory, Maiori 1989, pp., 367–385. Università di Salerno, Salerno (1992)
80.
Sierpinski, W.: Un théoreme sur les nombres irrationels. Bull. Int. Acad. Sci. Cracovie A, 725–727 (1909)
81.
Sierpinski, W.: Sur la valeur asymptotique d’une certaine somme. Bull. Int. Acad. Sci. Cracovie A, 9–11 (1910)
82.
Steuding, J.: Value Distribution of L-Functions. Lecture Notes in Mathematics, vol. 1877. Springer, Berlin (2007)
83.
Steuding, J.: The roots of the equation ζ(s) = a are uniformly distributed modulo one. In: Laurinčikas, A., et al. (eds.) Analytic and Probabilistic Methods in Number Theory, Proceedings of the Fifth International Conference in Honour of J. Kubilius, Palanga 2011, TEV, Vilnius 2012, pp. 243–249
84.
85.
Titchmarsh, E.C.: The Theory of the Riemann Zeta-Function, 2nd edn. Oxford University Press, Oxford (1986) (Revised by D.R. Heath-Brown)MATH
86.
Tschinkel, Yu.: About the cover: on the distribution of primes—Gauss’ tables. Bull. Am. Math. Soc. 43, 89–91 (2006)MathSciNetCrossRef
87.
Vinogradov, I.M.: Representation of an odd number as a sum of three primes. Doklady Akad. Nauk SSSR. 15, 291–294 (1937) (Russian)
88.
Vinogradov, I.M.: A new estimate for the function ζ(1 + it). Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 22, 161–164 (1958) (Russian)
89.
von Koch, H.: Sur la distribution des nombres premiers. C. R. Acad. Sci. Paris 130, 1243–1246 (1900)MATH
90.
von Mangoldt, H.: Zu Riemanns’ Abhandlung “Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse”. J. Reine Angew. Math. 114, 255–305 (1895)MATH
91.
92.
von Plato, J.: Oresme’s proof of the density of rotations of a circle through an irrational angle. Hist. Math. 20, 428–433 (1993)CrossRefMATH
93.
Voronin, S.M.: Theorem on the ‘universality’ of the Riemann zeta-function. Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Matem. 39, 475–486 (1975) (Russisch); Theorem on the ‘universality’ of the Riemann zeta-function. Math. USSR Izv. 9, 443–445 (1975)
94.
Weber, M.: On localization in Kronecker’s diophantine theorem. Unif. Distrib. Theory 4, 97–116 (2009)MathSciNetMATH
95.
Weyl, H.: Die Gibbssche Erscheinung in der Theorie der Kugelfunktionen. Palermo Rend. 29, 308–323 (1910)CrossRefMATH
96.
Weyl, H.: Über die Gibbssche Erscheinung und verwandte Konvergenzphänomene. Palermo Rend. 30, 377–407 (1910)CrossRefMATH
97.
Weyl, H.: Die Idee der Riemannschen Fläche. Teubner, Leipzig (1913)MATH
98.
Weyl, H.: Über ein Problem aus dem Gebiet der diophantischen Approximationen. Gött. Nachr., 234–244 (1914)
99.
Weyl, H.: Sur une application de la théorie des nombres à la mécaniques statistique et la théorie des pertubations. L’Enseign. Math. 16, 455–467 (1914)MATH
100.
101.
102.
Metadaten
Titel
One Hundred Years Uniform Distribution Modulo One and Recent Applications to Riemann’s Zeta-Function
verfasst von
Jörn Steuding
Copyright-Jahr
2014
Buch
Topics in Mathematical Analysis and Applications

Print ISBN: 978-3-319-06553-3

Electronic ISBN: 978-3-319-06554-0

Copyright-Jahr: 2014

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-319-06554-0_30

Premium Partner

    Bildnachweise