Perelman: Die dreidimensionale Welt (17.7.2003)

Riemann hat den Begriff ”Mannigfaltigkeit“ geprägt: Räume, deren Punkte lokal durch n reelle Zahlen (Koordinaten) beschrieben werden. Im Gegensatz zum euklidischen Raum können Mannigfaltigkeiten in sich geschlossen sein wie die Kugelfläche, die ”2-Sphäre“, und ihr 3-dimensionales Analogon (Kugelraum oder 3-Sphäre). Henri Poincaré hat 1903 vermutet, dass unter den dreidimensionalen geschlossenen Mannigfaltigkeiten die 3-Sphäre die einzige ist, auf der jede Schlinge zusammenziehbar ist. Diese Vermutung wurde 2003 von Grigori Perelman bewiesen. Allgemeiner zeigte er: Alle geschlossenen drei- dimensionalen Räume lassen sich in Bestandteile zerlegen, die (wie der Kugelraum) eine homogene Geometrie tragen können. Seine Methode war geometrisch und analytisch: Um zu einer homogenen Geometie zu gelangen, wird auf die Krümmung einer anfänglich gegebenen Riemannschen Metrik eine Art Wärmefluss angewandt, analog dem Gesetz, nach dem sich Wärme in einem Raum gleichmäßig verteilt. Anders als beim echten Wärmefluss stoppt dieser Fluss immer wieder; Teile des Raums müssen dann abgespalten und der Vorgang neu angestoßen werden.