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28.01.2016 | Ausgabe 3/2016

Journal of Scientific Computing 3/2016

Point Source Super-resolution Via Non-convex \(L_1\) Based Methods

Zeitschrift:
Journal of Scientific Computing > Ausgabe 3/2016
Autoren:
Yifei Lou, Penghang Yin, Jack Xin

Abstract

We study the super-resolution (SR) problem of recovering point sources consisting of a collection of isolated and suitably separated spikes from only the low frequency measurements. If the peak separation is above a factor in (1, 2) of the Rayleigh length (physical resolution limit), \(L_1\) minimization is guaranteed to recover such sparse signals. However, below such critical length scale, especially the Rayleigh length, the \(L_1\) certificate no longer exists. We show several local properties (local minimum, directional stationarity, and sparsity) of the limit points of minimizing two \(L_1\) based nonconvex penalties, the difference of \(L_1\) and \(L_2\) norms (\(L_{1-2}\)) and capped \(L_1\) (C\(L_1\)), subject to the measurement constraints. In one and two dimensional numerical SR examples, the local optimal solutions from difference of convex function algorithms outperform the global \(L_1\) solutions near or below Rayleigh length scales either in the accuracy of ground truth recovery or in finding a sparse solution satisfying the constraints more accurately.

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