scroll identifier for mobile
main-content

## Weitere Artikel dieser Ausgabe durch Wischen aufrufen

26.03.2018 | Ausgabe 8/2018

# Polynomial Kernels for Vertex Cover Parameterized by Small Degree Modulators

Zeitschrift:
Theory of Computing Systems > Ausgabe 8/2018
Autoren:
Diptapriyo Majumdar, Venkatesh Raman, Saket Saurabh
Wichtige Hinweise
A preliminary version of this paper [29] appeared in the proceedings of the 10th International Symposium on Parameterized and Exact Computation (IPEC 2015).

## Abstract

Vertex Cover is one of the most well studied problems in the realm of parameterized algorithms. It admits a kernel with $$\phantom {\dot {i}\!}\mathcal {O}(\ell ^{2})$$ edges and $$\phantom {\dot {i}\!}2\ell$$ vertices where $$\phantom {\dot {i}\!}\ell$$ denotes the size of the vertex cover we are seeking for. A natural question is whether Vertex Cover is fixed-parameter tractable or admits a polynomial kernel with respect to a parameter k, that is, provably smaller than the size of the vertex cover. Jansen and Bodlaender [STACS 2011, TOCS 2013] raised this question and gave a kernel for Vertex Cover of size $$\phantom {\dot {i}\!}\mathcal {O}(f^{3})$$, where f is the size of a feedback vertex set of the input graph. We continue this line of work and study Vertex Cover with respect to a parameter that is always smaller than the solution size and incomparable to the size of the feedback vertex set of the input graph. Our parameter is the number of vertices whose removal results in a graph of maximum degree two. While vertex cover with this parameterization can easily be shown to be fixed-parameter tractable (FPT), we show that it has a polynomial kernel. The input to our problem consists of an undirected graph G, $$\phantom {\dot {i}\!}S \subseteq V(G)$$ such that $$\phantom {\dot {i}\!}|S| = k$$ and $$\phantom {\dot {i}\!}G[V(G)\setminus S]$$ has maximum degree at most two and a positive integer $$\phantom {\dot {i}\!}\ell$$. Given $$\phantom {\dot {i}\!}(G,S,\ell )$$, in polynomial time we output an instance $$\phantom {\dot {i}\!}(G^{\prime },S^{\prime },\ell ^{\prime })$$ such that $$\phantom {\dot {i}\!}|V(G^{\prime })|$$ is $$\phantom {\dot {i}\!}\mathcal {O}(k^{5})$$, $$\phantom {\dot {i}\!}|E(G^{\prime })|$$ is $$\phantom {\dot {i}\!}\mathcal {O}(k^{6})$$ and G has a vertex cover of size at most $$\phantom {\dot {i}\!}\ell$$ if and only if $$\phantom {\dot {i}\!}G^{\prime }$$ has a vertex cover of size at most $$\phantom {\dot {i}\!}\ell ^{\prime }$$. When $$\phantom {\dot {i}\!}G[V(G)\setminus S]$$ has maximum degree at most one, we improve the known kernel bound from $$\phantom {\dot {i}\!}\mathcal {O}(k^{3})$$ vertices to $$\phantom {\dot {i}\!}\mathcal {O}(k^{2})$$ vertices (and $$\phantom {\dot {i}\!}\mathcal {O}(k^{3})$$ edges). More generally, given $$\phantom {\dot {i}\!}(G, S, \ell )$$ where every connected component of $$\phantom {\dot {i}\!}G \setminus S$$ is a clique of at most d vertices (for constant d), in polynomial time, we output an equivalent instance $$\phantom {\dot {i}\!}(G^{\prime }, S^{\prime }, \ell ^{\prime })$$ for the same problem where $$\phantom {\dot {i}\!}|V(G^{\prime })|$$ is $$\phantom {\dot {i}\!}\mathcal {O}(k^{d})$$. We also show that for this problem, when $$\phantom {\dot {i}\!}d \geq 3$$, a kernel with $$\phantom {\dot {i}\!}\mathcal {O}(k^{d-\varepsilon })$$ bits cannot exist for any $$\phantom {\dot {i}\!}\varepsilon >0$$ unless $$\phantom {\dot {i}\!}\textsf {NP} \subseteq \textsf {coNP}/\textsf {poly}$$.

### Springer Professional "Wirtschaft+Technik"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft+Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

• über 69.000 Bücher
• über 500 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

• Automobil + Motoren
• Bauwesen + Immobilien
• Elektrotechnik + Elektronik
• Energie + Umwelt
• Finance + Banking
• Management + Führung
• Marketing + Vertrieb
• Maschinenbau + Werkstoffe

Testen Sie jetzt 30 Tage kostenlos.

### Springer Professional "Wirtschaft"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft" erhalten Sie Zugriff auf:

• über 58.000 Bücher
• über 300 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

• Bauwesen + Immobilien
• Finance + Banking
• Management + Führung
• Marketing + Vertrieb

Testen Sie jetzt 30 Tage kostenlos.

### Springer Professional "Technik"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

• über 50.000 Bücher
• über 380 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

• Automobil + Motoren
• Bauwesen + Immobilien
• Elektrotechnik + Elektronik
• Energie + Umwelt
• Maschinenbau + Werkstoffe​​​​​​​​​​​​​​

Testen Sie jetzt 30 Tage kostenlos.

Literatur
Über diesen Artikel

Zur Ausgabe

## BranchenIndex Online

Die B2B-Firmensuche für Industrie und Wirtschaft: Kostenfrei in Firmenprofilen nach Lieferanten, Herstellern, Dienstleistern und Händlern recherchieren.

## Whitepaper

- ANZEIGE -

### Best Practices für die Mitarbeiter-Partizipation in der Produktentwicklung

Unternehmen haben das Innovationspotenzial der eigenen Mitarbeiter auch außerhalb der F&E-Abteilung erkannt. Viele Initiativen zur Partizipation scheitern in der Praxis jedoch häufig. Lesen Sie hier  - basierend auf einer qualitativ-explorativen Expertenstudie - mehr über die wesentlichen Problemfelder der mitarbeiterzentrierten Produktentwicklung und profitieren Sie von konkreten Handlungsempfehlungen aus der Praxis.