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Erschienen in:

2021 | OriginalPaper | Buchkapitel

6. Praxeologische Analysen mathematischer Praktiken in der Signaltheorie

verfasst von : Jana Peters, Reinhard Hochmuth

Erschienen in: Lehrinnovationen in der Hochschulmathematik

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Im Fokus dieses Beitrags steht die Analyse mathematischer Praktiken, wie sie in der Signaltheorie eines Elektrotechnik-Studiengangs gelehrt werden. Den theoretischen Rahmen der Analyse bildet die Anthropologische Theorie der Didaktik (ATD). Im Sinne dieser werden die mathematischen Praktiken der Signaltheorie als institutionalisierte Verknüpfungen von Praktiken der Höheren Mathematik für Ingenieure, der Mathematik, wie sie in elektrotechnischen Grundvorlesungen entwickelt und verwendet wird, und spezifischen signaltheoretischen Inhalten verstanden. Dabei unterscheiden wir zwei Mathematikdiskurse, einen Höhere-Mathematik- und einen elektrotechnischen Mathematik-Diskurs. Auf der Basis eines entsprechend erweiterten praxeologischen 4T-Modells rekonstruieren wir im Folgenden exemplarisch an zwei signaltheoretischen Aufgaben die jeweiligen Diskursaspekte sowie deren Verknüpfungen und stellen diese Ergebnisse grafisch dar. Die beiden Beispiele zeigen, dass das erweiterte praxeologische Modell geeignet ist, um aufgabenbezogen potenzielle, mit der Verknüpfung der analytisch unterschiedenen Diskurse verbundene Hürden bei studentischen Aufgabenbearbeitungen zu identifizieren und fachbezogene Anregungen für die Lehrpraxis zu generieren.

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Vergleiche dazu auch die Arbeit von Barquero et al. (2011) zum applicationism.

Mit noosphere wird in der ATD „[…] the sphere of those who ‘think’ (noos) about teaching-, its relationship to ‘scholarly knowledge’ which usually legitimates its introduction in educational institutions, and the specific form it takes when arriving in the classroom […].” (Bosch und Gascón 2014, S. 71) bezeichnet. Die noosphere umfasst alle Agenten, die am Prozess der didaktischen Transposition vom scholarly mathematical knowledge zum knowledge to be taught beteiligt sind. In diesem umfassenden Begriff drückt sich auch der Umstand aus, dass die an diesem Transpositionsprozess beteiligten Agenten und die zugehörigen historischen und institutionellen Bedingungen nicht immer einfach zu erkennen sind.

Im Rahmen ihrer Untersuchungen bezieht sich Castela (2015) auf in Arbeiten mit Romo Vázquez rekonstruierte Funktionen der Technologie, nämlich Beschreiben, Motivieren, Fördern, Validieren, Erklären, Bewerten und Kontrollieren: „Drawing on the aforementioned textbooks, Romo Vázquez and I have differentiated six of them: describing the technique, validating it i.e. proving that this technique produces what is expected from it, explaining the reasons why this technique is efficient (knowing about causes), motivating the different gestures of the technique (knowing about objectives), making it easier to use the technique and appraising it (with regard to the field of efficiency, to the using comfort, relatively to other available techniques). […] This list should not be taken as exhaustive. For instance, […] I currently consider one more need: controlling the technique implementation.“ (S. 11) Wir schließen uns diesem erweiterten Verständnis der Funktionen von Technologie an.

Wir verstehen dies insbesondere auch als eine zum epistemologischen Referenzmodell (siehe z. B. Bosch 2015) alternative Methode der Distanzierung vom eigenen institutionellen Standpunkt.

Die zugrunde gelegte Lehrbuchliteratur für die Vorlesungen zur Höheren Mathematik ist (Strampp 2012, 2015; Strampp et al. 1997a, b). Die an historisch-philosophischen Arbeiten orientierten Überlegungen zur unterschiedlichen epistemologischen Verfasstheit von Mathematik und Physik im Kontext der Einführung des Dirac-Impulses in (Hochmuth und Schreiber 2015; Hochmuth und Peters 2018) sind hier ebenfalls anschlussfähig.

Diese treten bei der Nachrichtenübertragung auf, sind von endlicher Dauer, stetig und ausreichend differenzierbar. Allerdings sind sie auch sehr unregelmäßig und unvorhersehbar (andernfalls wäre der Informationsgehalt der Nachricht auch sehr gering) (siehe Fettweis 1996, S. 4 ff.).

Diese verletzen einige Eigenschaften realer Signale, lassen sich durch wenige Parameter beschreiben, können aber zu Schwierigkeiten beispielsweise hinsichtlich Konvergenz führen (siehe Fettweis 1996, S. 6).

Vergleiche insbesondere auch unsere Überlegungen in Hochmuth und Peters (2018) zum Verhältnis realer und idealisierter Signale.

Im Rahmen dieses Beitrags sollen dieses einfache Beispiel und die folgenden Ausführungen genügen, um die eigene Art des Denkens zu illustrieren. Für eine ausführlichere Darstellung der Entwicklung verweisen wir zusätzlich auf die Arbeiten von Bissell und Dillon (2000) sowie von Bissell (2004, 2012).

Hier verweisen wir auch auf unsere Analyse zu den rotierenden Zeigern in Abschn. 6.5.2 und auf die Arbeit von de Oliveira und Nunes (2014).

Für eine sinusförmige Größe gilt \(A \cdot \cos( {\omega t + \varphi }) = \Re\left({A \cdot \operatorname{e}^{{i\left({\omega t + \varphi }\right)}}}\right)\!= \Re{\left( {A \cdot \operatorname{e}^{i\omega t} \cdot \operatorname{e}^{i\varphi } } \right)}\), wobei \(A\) die Amplitude, \(\omega\) die Kreisfrequenz und \(\varphi\) der Phasenwinkel ist (jeweils zeitunabhängig). Der Fakto \(\underline {A} = A \cdot \operatorname{e}^{i\varphi }\) wird Phasor genannt. Bei der Analyse elektrischer Komponenten ist im Wesentlichen das Amplitudenverhältnis von Eingangssignal und Ausgangssignal sowie die Phasenverschiebung, die durch die Komponente verursacht wird, von Interesse. Die Funktion \(\underline {A} \cdot \operatorname{e}^{i\omega t}\) kann als rotierender Zeiger in der komplexen Ebene dargestellt werden. Phasoren und rotierende Zeiger stellen wichtige grafische Mittel zur Interpretation und Analyse elektrotechnischer Vorgänge dar.

Mit dem Unterstrich kennzeichnet man in der Elektrotechnik üblicherweise komplexe Größen. In der Elektrotechnik wird für die imaginäre Einheit der Buchstabe \(j\) verwendet, um Verwechslungen mit der zeitabhängigen Stromstärke \(i\) zu vermeiden.

Ein Gerät, das sowohl moduliert als auch demoduliert, nennt man Modem.

Im einfachsten Fall ist ein Tiefpassfilter eine Schaltung aus Widerstand und Kondensator, bei der die Ausgangsspannung gegenüber der Eingangsspannung um einen frequenzabhängigen Faktor geschwächt ist. Dabei ist die Abschwächung umso stärker, je höher die Frequenz ist.

Dieser Übergang von komplexen Techniken zu neuen (Teil-)Aufgaben kann als dialektisches Verhältnis zwischen Aufgaben und Techniken verstanden werden (vgl. Chevallard 2019, S. 85), das wir hier zur Strukturierung unserer Analyse nutzen.

Beispielsweise nicht im zugrunde liegenden Lehrbuch von Strampp (2015).

Möglich wäre hier auch eine pragmatische Lösung im Sinne der Aufgabenstellung, die nur den ersten Koeffizienten berechnet, um zu zeigen, dass der positiv ist. Das Berechnen weiterer Koeffizienten ist in gewissem Sinne unnötig, da die zugehörigen Signalanteile durch die anschließende Anwendung des Tiefpassfilters unterdrückt werden. Solche Varianten finden sich beispielsweise in Studierendenlösungen.

Die Abb. 6.1 rechts und das Zeigerdiagramm (siehe Abb. 4 in der Dozenten-Musterlösung im Anhang) stellen im Prinzip zwei Veranschaulichungen der Amplitudenmodulation dar. Das Zeigerdiagramm hat gegenüber der Darstellung in Abb. 6.1 rechts den Vorteil, dass sich damit einige Effekte, die bei der Amplitudenmodulation relevant sind, darstellen lassen. Ist beispielsweise der Modulationsgrad \(m\) größer als 1, kommt es zu einem Phasensprung: Zu dem Zeitpunkt, an dem die beiden Seitenbandzeiger genau entgegen der Richtung des Trägerzeigers liegen, sind die beiden Seitenbandzeiger dann zusammen länger als der Trägerzeiger. Insgesamt macht der Zeiger der Gesamtsumme dann einen Phasensprung. Ein zweites Beispiel ist eine ungleichmäßige Übertragung der beiden Seitenbänder. Wenn sich deren Amplituden unterscheiden, sind die beiden Seitenbandzeiger nicht mehr gleich lang. Ursprünglich zeigt die Summe der Seitenbandzeiger immer in oder genau entgegen der Richtung des Trägerzeigers. Schwanken die Amplituden der Seitenbänder, schwankt die Summe der Seitenbandzeiger um diese Mittellage und es kommt zu zusätzlicher Phasenmodulation.

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Titel: Praxeologische Analysen mathematischer Praktiken in der Signaltheorie
verfasst von: Jana Peters
Reinhard Hochmuth
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Buch: Lehrinnovationen in der Hochschulmathematik
Print ISBN: 978-3-662-62853-9

Electronic ISBN: 978-3-662-62854-6

Copyright-Jahr: 2021
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-62854-6_6

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