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Forschung im Ingenieurwesen

Erschienen in:

Open Access 27.01.2020 | Originalarbeiten/Originals

Probabilistische Modellierung und Vorhersage der Standzeit und Zuverlässigkeit eines Fräswerkzeugs mittels der Bayesianischen Statistik

verfasst von: M. Salehi, G. Wald, T. L. Schmitz, R. Haas, J. Ovtcharova

Erschienen in: Forschung im Ingenieurwesen | Ausgabe 2/2020

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Zusammenfassung

In diesem Artikel wird die probabilistische Modellierung und Vorhersage für die Standzeit und Zuverlässigkeit eines Fräswerkzeugs mittels der Bayesianischen Statistik beschrieben. Zur Entwicklung des probabilistischen Modells wird eine Markov-Chain-Monte-Carlo-Simulation (MCMC) auf das Taylor-Standzeit-Modell angewendet. Die A‑priori-Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden aus der Literaturrecherche ermittelt. Aus anschließenden Fräsversuchen werden ein Trainings- und ein Testdatensatz generiert. Die Versuche werden in einem Bereich der Schnittgeschwindigkeiten von 300 bis 400 m/min durchgeführt. Die A‑posteriori-Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden unter Verwendung des Trainingssatzes berechnet. Mittels der trainierten A‑posteriori-Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden anschließend die Testdatensätze bei den Schnittgeschwindigkeiten von 300 bis 400 m/min vorhergesagt. Es folgt ein Vergleich des probabilistischen Standzeitmodells mit den Testdatensätzen. Anschließend werden die A‑posteriori-Verteilungen der Werkzeugstandzeit verwendet, um eine Zuverlässigkeitsanalyse unter Verwendung der Zuverlässigkeitsfunktion in Abhängigkeit der Schnittgeschwindigkeit durchzuführen. Es wird gezeigt, dass die Werkzeugstandzeit- und Zuverlässigkeitsfunktion die gemessenen Werkzeugstandzeiten innerhalb der Unsicherheitsintervalle mit einem maximalen Vorhersagefehler von 18 % mit lediglich zwei Trainingsdatenpunkten vorhersagen können.

1 Einleitung

Die Werkzeugstandzeit ist ein wichtiges Fertigungsmerkmal für die Bearbeitungsleistung und beeinflusst erheblich die Werkstückqualität und Fertigungsproduktivität. In diesem Zusammenhang wurden mehrere Leistungsmodelle für die Vorhersage der Werkzeugstandzeit und dessen Verschleiß entwickelt. Diese Modelle können in analytische, numerische, empirische, auf künstlicher Intelligenz (KI) basierende und hybride Modelle klassifiziert werden [1‐4]. Unter den empirischen Modellen wurde das Taylor-Modell definiert, um die Werkzeugstandzeit vorherzusagen. Es beschreibt einen empirischen Zusammenhang zwischen der Werkzeugstandzeit und der Schnittgeschwindigkeit anhand des Potenzgesetzes

$$\mathrm{T}=\left(\frac{\mathrm{C}}{V_{c}}\right)^{\frac{1}{n}}.$$

(1)

Dabei ist T die Werkzeugstandzeit in Minuten, um eine Verschleißmarkenbreite V_B von beispielsweise V_B = 0,3 mm zu erreichen. V_c ist die Schnittgeschwindigkeit in m/min und C ist eine empirisch ermittelte Konstante, auch Minutengeschwindigkeit genannt. Dazu werden die Standzeiten T bei unterschiedlichen Schnittgeschwindigkeiten V_c empirisch ermittelt und daraus der Taylorexponent n bestimmt. Die Konstante C beschreibt theoretisch die Schnittgeschwindigkeit bei einer Standzeit T = 1 min. Die Vorgehensweise wird in [5, 6] näher beschrieben. Die Werkzeugstandzeit, die zum Erreichen einer vorbestimmten Freiflächen- oder Kolkverschleißgrenze erforderlich ist, wird als Schneidzeit definiert. Der Freiflächenverschleiß ist aufgrund seines vorhersagbaren und regelmäßigen Verschleißmusters das häufigste und bevorzugte Verschleißkriterium.

Der Werkzeugverschleiß variiert in realen Anwendungen, selbst wenn das Schneidwerkzeug, die Maschine und die Schneidbedingungen identisch sind. Dies kann auf die Variation der chemischen und physikalischen Eigenschaften des kommerziell identischen Werkstücks und auf die Werkzeug-zu-Werkzeug-Leistung zurückzuführen sein. Im Allgemeinen ist die Standzeit des Werkzeugs durch Zufälligkeit gekennzeichnet. Eine exakte Vorhersage ist daher schwierig. Deterministische Modelle sind demnach in der Anwendung begrenzt, da die Zufälligkeit der Ergebnisse der Werkzeugstandzeit nicht bewertet wird [7, 8]. Dies führt dazu, dass stochastische Größen genutzt werden können, um diese Streuung für identische Standzeitversuche zu berücksichtigen. Basierend auf diesem Hintergrund wurden die Unsicherheitsquantifizierung und die probabilistische Vorhersage der Werkzeugstandzeit mit Bayesianischen Statistiken durchgeführt. Niaki et al. [9, 10] entwickelte probabilistische Modelle unter Verwendung der Bayesianischen Methode, um den Werkzeugverschleiß beim Fräsen von Nickelbasiswerkstoffen vorherzusagen. Dabei wurde ein kombinierter Gibbs-Metropolis-Algorithmus angewendet, um die unbekannten Parameter eines nichtlinearen mechanistischen Schnittleistungsmodells abzuschätzen. Unter Verwendung des Metropolis-Algorithmus zur Vorhersage der Modellparameter und der Gibbs-Sampler zur Aktualisierung der Messfehlerabweichung wurden die Modellparameter mit einem maximalen Fehler von 18 % vorhergesagt.

Unter der Zuverlässigkeit eines Systems versteht man im Allgemeinen die Zeitdauer in der das System seine Funktion erfüllt und nicht ausfällt [11]. Die Bestimmung der Werkzeugstandzeit unter Prozessunsicherheiten kann durch die Anwendung von Zuverlässigkeitstechniken berechnet werden. Somit können auch Ausfallwahrscheinlichkeiten von Schneidwerkzeugen mit den Zuverlässigkeitsfunktionen vorhergesagt werden. Die Zuverlässigkeitsanalyse der Standzeit und des Verschleißes von Schneidwerkzeugen wurde bereits mit verschiedenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen und statistischen Methoden untersucht [12, 13]. Lin [14] hat die grundlegende Zuverlässigkeitsanalyse von Schneidwerkzeugen beim Hochgeschwindigkeitsfräsen anhand von experimentellen Tests untersucht. Er verglich die Ergebnisse der Zuverlässigkeitsfunktionen unter Berücksichtigung unterschiedlicher Schnittgeschwindigkeiten und Vorschübe. Elbestawi et al. [15] hat stochastische Modelle zur Vorhersage der Ausfallrate beim Drehen von gehärtetem Stahl mit keramischen Werkzeugen vorgestellt. Verschiedene Arten des Werkzeugverschleißes, einschließlich des gleichmäßigen und chemischen Verschleißes und des vorzeitigen Ausfalls, wurden unter Verwendung von Lognormal- und Weibull-Verteilungen modelliert. Diese quantifizieren das Ausfallverhalten des Werkzeugs bei unterschiedlichen Schnittgeschwindigkeiten anhand der Zuverlässigkeits- und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (WDF), siehe Abschn. 3.2. Es wurde gezeigt, dass die logarithmische Normalverteilung als Werkzeugverschleißverteilung verwendet werden kann, um die Werkzeugausfallrate unter verschiedenen Werten der Schnittbedingungen und der Oberflächengüte des Werkstücks vorherzusagen. Dabei wurde die Weibull-Verteilung als die geeignetste Verteilung bewertet, um den Microbruch des Werkzeugs im Speziellen zu modellieren.

Die in den oben genannten Forschungen durchgeführte Zuverlässigkeitsanalyse beruht auf datengesteuerten Analysen. Diese wurden mit verschiedenen Schneidbedingungen und Werkzeuggeometrien anhand umfangreicher Experimente ermittelt. Eine alternative Methode zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilung und der Zuverlässigkeitsfunktion der Werkzeugstandzeit ist die Bayesianische Statistik, bei der eine anfängliche „Meinung“ (Vorwissen) über Modellparameter der Werkzeugstandzeitmodelle in die aktuelle und zukünftige Analyse integriert werden kann. Das Vorwissen (A-priori-Wahrscheinlichkeit) über die Modellparameter kann von ehemaligen Experimenten oder einer Literaturrecherche stammen. Dadurch können die Modellparameter mit deutlich geringerem experimentellen Aufwand bestimmt werden.

Im Folgenden wird die Bayesianische MCMC-Methode für die probabilistische Vorhersage der Werkzeugstandzeit und der Zuverlässigkeit beim Fräsen modelliert und angewendet. Die Normalverteilung wird als Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion und als Zuverlässigkeitsfunktion verwendet. Darüber hinaus wird der Einfluss der Schnittgeschwindigkeit auf die Standzeit und Zuverlässigkeit des Fräswerkzeugs anhand der probabilistischen Modelle untersucht.

2 Versuchsaufbau und empirische Datengewinnung

Zur Aktualisierung und abschließenden Validierung der probabilistischen Modellierung und Vorhersage der Standzeit und Zuverlässigkeit eines Fräswerkzeugs mittels der Bayesianischen Statistik müssen zunächst anwendungsspezifische Versuchsdaten ermittelt werden. Dazu wurden Fräsversuche auf einer 5‑Achs-Fräsmaschine Hermle C40 durchgeführt; siehe Abb. 1. Für die 2,5 achsigen Versuche wurde als Fräswerkzeug ein Werkzeughalter mit drei unbeschichteten Wendeschneidplatten mit der kommerziellen Bezeichnung SPGW09T308 und Kantenradien von r_e = 20 µm bei einem Werkzeugdurchmesser von 32 mm verwendet, siehe Abb. 2. Die Wendeschneidplatten wurden von der Zermet Zerspanung GmbH mit dem ISO-Schneidstoff P25 konstruiert und hergestellt. Als Versuchswerkstoff diente der kubische Werkzeugstahl AISI 1045 mit den Abmessungen 100 × 100 × 100 mm. Die Schnitttiefe betrug b = 1,5 mm bei einem Vorschubwert von f_z = 0,05 mm/Zahn und vier Schnittgeschwindigkeiten von V_c = {300; 325; 350; 400} m/min.

Um ein Entfernen des Werkzeugs zu Messzwecken von der Frässpindel zu vermeiden, wurde ein tragbares Mikroskop 5 Mpx Dino-Lite (AM7915MZT) mit der maximalen Vergrößerung von 220 verwendet. In regelmäßigen Abständen wurden damit Aufnahmen der Werkzeugfreifläche durchgeführt. Die Werkzeugfreiflächenverschleißmarkenbreite V_B als Werkzeugverschleißkriterium wurde für drei Wendeplatten nach jedem Intervall von 200 mm Schnittlänge gemessen und der jeweilige Mittelwert und die Standardabweichung der abgenutzten Wendeplatten bis zum Erreichen des Freiflächenverschleißkriteriums von V_B = 0,3 mm ermittelt.

Abb. 3 zeigt exemplarisch die Aufnahmen des Werkzeugverschleißwachstums bei einer Schnittgeschwindigkeit von V_c = 350 m/min, welche in 5 Schritten aufgenommen wurden. Zur Bestimmung der Werkzeugstandzeit wurde eine lineare Interpolation zwischen benachbarten Datenpunkten durchgeführt, bis die Verschleißgrenze von 0,3 mm erreicht wurde. In Abb. 4 sind die Ergebnisse der Werkzeugverschleißversuche dargestellt, wobei jeder Datenpunkt den Mittelwert der drei Versuche zusammen mit einem Standardabweichungsfehlern von ±1σ angegeben wird. Der Freiflächenverschleiß steigt mit der Zerspanungszeit. Die Standzeit verringert sich mit einer Erhöhung der Schnittgeschwindigkeit von 300 auf 400 m/min. Die gestrichene Linie stellt das Werkzeugverschleißkriterium (Freiflächenverschleiß) V_B = 0,3 mm dar. Der gemessene Mittelwert und die Standardabweichung von 1σ der Werkzeugstandzeit für die jeweiligen Schnittgeschwindigkeiten beim Erreichen des Verschleißkriteriums wird in Tab. 1 gezeigt.

Tab. 1

Mittelwerte und 1σ Standardabweichungen der Werkzeugstandzeit bei einem durchschnittlichen Freiflächenverschleiß von 0,3 mm

No	V_c (m/min)	T__gemessene (min)
1	300	(48; 0,9)
2	325	(28; 0,4)
3	350	(14,8; 0,55)
4	400	(7,6; 0,35)

3 Methodik

Die probabilistische Modellierung der Werkzeugstandzeit wird unter Verwendung der Bayesianischen Inferenz auf das Taylor-Modell durchgeführt. Zunächst werden die A‑priori-Wahrscheinlichkeiten der Modellparameter festgelegt. Folgend werden die Modellparameter unter Verwendung der Ergebnisse der durchgeführten Versuche mittels der Likelihood-Funktion aktualisiert, um die A‑posteriori-Wahrscheinlichkeiten der Parameter des Taylor-Modells zu berechnen. Anschließend wird der Markov-Chain-Monte-Carlo-Ansatz (MCMC-Ansatz) zur Simulation angewendet und die Parameter der A‑posteriori-Wahrscheinlichkeitsverteilungen approximiert. Die A‑posteriori-Wahrscheinlichkeitsverteilungen dienen schließlich als Startwerte der Berechnung der Zuverlässigkeitsfunktionen.

3.1 Bayesianische Inferenz des Taylor-Standzeitmodells

Die Bayesianische Inferenz ermöglicht die Anpassung eines A‑priori-Wertes (eine anfängliche Annahme eines Parameters) durch das Einbeziehen neuer experimenteller Ergebnisse. Nach Gl. (2) ist die A‑posteriori-Wahrscheinlichkeit $p\left(x|y\right)$ das Produkt der A‑priori-Verteilung p(x) mit der Likelihood-Funktion $p\left(y|x\right)$, dividiert durch die Normalisierungsfunktion. Unter Verwendung des Bayesianischen Ansatzes kann die A‑posteriori-Verteilung einer Untersuchung als die A‑priori-Verteilung einer zweiten Untersuchung verwendet werden [16, 17].

$$p\left(x|y\right)=\frac{p\left(x\right)p\left(y|x\right)}{\int p\left(x\right)p\left(y|x\right)dx}$$

(2)

Das Integral in Gl. (2) wird oft als marginale Wahrscheinlichkeit bezeichnet und hat im Allgemeinen keine geschlossene Lösung. Daher wurden Berechnungsansätze, u. a. die Markov-Chain-Monte-Carlo(MCMC)-Simulation, entwickelt, um die analytische Integration zu ergänzen oder zu ersetzen und die A‑posteriori-Verteilung zu approximieren [18].

3.1.1 Identifikation der Taylor-Modellparameter

Die probabilistische Modellierung der Werkzeugstandzeit unter Verwendung der Normalverteilung beginnt mit der Festlegung der Taylor-Modellparameter C und n. Die A‑priori-Wahrscheinlichkeit der Modellparameter C und n wird als gemeinsame Gaußsche Verteilung p(C,n) dargestellt. Der Mittelwert und die Standardabweichung der Parameter wurden aus [5, 19] für einen kohlenstoffarmen Stahl entnommen:

C = 340 ± 60 m/min (±1σ)
n = 0,26 ± 0,05 (±1σ)

Die A‑priori-Verteilungen werden unter Verwendung der Ergebnisse der Bearbeitungsversuche mit der Likelihood-Funktion aktualisiert. Die bivariate Likelihood-Funktion der gemessenen Werkzeugstandzeit unter Berücksichtigung der Parameter des Taylor-Modells ergibt sich dann wie folgt:

$$p\left(T_{m}|C,n\right)=e^{-\frac{\left(\left(\frac{C}{V_{c}}\right)^{\frac{1}{n}}-T_{m}\right)^{2}}{2{\sigma _{{T_{m}}}}^{2}}}$$

(3)

$p\left(T_{m}|C,n\right)$ ist hier die Likelihood-Funktion der gemessenen Werkzeugstandzeit T_m bei gegebenen A‑priori-Werten der Taylor-Modellparameter (C,n). σ_Tm ist die Standardabweichung der gemessenen Standzeit. Eine Normalisierung der Wahrscheinlichkeit ist hier nicht sinnvoll, da es sich nicht um eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Modellparameter (C,n) handelt, sondern um die Wahrscheinlichkeit über die gemessenen Standzeitdaten T_m. Diese Wahrscheinlichkeitsfunktion beschreibt wie wahrscheinlich das Messergebnis bei einer bestimmten Schnittgeschwindigkeit bei gegebenen Taylor-Modellparametern ist.

Die A‑posteriori-Wahrscheinlichkeit wird nach der Aktualisierung der A‑priori-Wahrscheinlichkeit unter Verwendung der Likelihood-Funktion berechnet. Die A‑posteriori-Wahrscheinlichkeitsverteilung der Werkzeugstandzeit wird unter Verwendung der Normalverteilung berechnet und wie folgt beschrieben:

$$p\left(C,n|T_{m}\right)=\frac{p\left(C,n\right)\cdot p\left(T_{m}|C,n\right)}{p\left(T_{m}\right)},$$

(4)

dabei ist $p\left(C,n|T_{m}\right)$ die gemeinsame A‑posteriori-Verteilung der Parameter (C,n), berechnet durch das Produkt der gemeinsamen A‑priori-Verteilung p(C,n) und der Likelihood-Funktion $p\left(T_{m}|C,n\right)$ dividiert durch den Normalisierungsfaktor p(T_m). Die gemeinsame A‑posteriori-Verteilung der Parameter ist die Zielverteilung und wird mittels MCMC-Simulation approximiert, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Werkzeugstandzeit für die Gl. (1) zu berechnen.

3.1.2 Anwendung von MCMC auf das Taylor-Modell

Die MCMC-Methode ist i. A. eine probabilistische Methode zum Ziehen einer Stichprobe x aus einer Wahrscheinlichkeitsverteilung durch einen Markov-Kettenmechanismus (Markov Chain). Die daraus entstandene Verteilung wird als Zielverteilung p(x) approximiert [20]. Die MCMC-Simulation wird hier verwendet, um die Parameter des Taylor-Modells (C,n) vorherzusagen. Dabei wird der Metropolis-Algorithmus der MCMC-Methode verwendet, um eine Stichprobe aus der Vorschlagsverteilung q(C,n) zu ziehen und die A‑posteriori-Zielverteilung p(C,n) zu approximieren. Als Vorschlagsverteilung wird eine gemeinsame Normalverteilung der Taylor-Modellparameter (C,n) festgelegt.

Die Zielverteilung p(C,n) ist das Produkt der gemeinsamen A‑priori-Verteilung und der Likelihood-Funktion. Gemäß dem Metropolis-Algorithmus wird der Nenner hier nicht berechnet. Es folgt eine aus der Vorschlagsverteilung entnommene Kandidatenstichprobe (C,n)^neu, welche entweder akzeptiert oder abgelehnt wird, abhängig von einem festzulegenden Akzeptanzverhältnis der Akzeptanzrate r. In jeder Iteration erfolgt eine Anpassung der Markov-Kette zu (C,n)^neu, wenn die Probe akzeptiert wird. Ansonsten bleibt die Kette auf dem aktuellen Wert von (C,n)ⁱ. Der Algorithmus fährt mit N‑1-Iterationen fort, um N Stichproben aus der Zielverteilung unter Verwendung der folgenden Schritte zu erhalten:

Lege eine normale A‑priori-Verteilung p(C,n) fest;

Lege eine Vorschlagsverteilung q(C,n) fest;

Initialisiere eine Stichprobe als Startwert (C,n)⁰;

Beginne mit der Iteration von i = 0 bis i = N − 1:

Wähle eine Kandidatenstichprobe (C,n)^neu aus der Vorschlagsverteilung $q\left((C,n)^{\text{neu}}|(C,n)^i\right)$;
Berechne die A‑posteriori-Verteilung $p\left((C,n)^i|T_m\right)=$$p\left((C,n)^i\right) p\left(T_m|(C,n)^i\right)$;
Berechne die Akzeptanzrate $r=\frac{p\left(\left(C,n\right)^{\mathrm{neu}}\right)}{P\left(\left(C,n\right)^{i}\right)}$;
Generiere eine Zufallszahl u aus einer Gleichverteilung zwischen 0 und 1
Wenn u ≤ r:
Akzeptiere den Vorschlag: (C,n)ⁱ⁺¹ = (C,n)^neu;
andernfalls:
Lehne den Vorschlag ab: (C,n)ⁱ = (C,n)^neu;

Ende der Iteration.

Um die übermäßige Autokorrelation aufgrund der Abhängigkeit der mit dem Metropolis-Algorithmus gezogenen Proben zu reduzieren, wird die Ausdünnungstechnik verwendet [21]. Darüber hinaus wird die Vorschlagsverteilung der Proben innerhalb der festgelegten Akzeptanzrate von 15–50 % begrenzt [20, 22, 23]. Die anfänglichen Iterationen zeigen verfahrensbedingt zunächst ein transientes Verhalten bis sie in einen stationären Bereich übergehen. Dies wird gewöhnlich als Einbrennperiode (Burn-in-Periode) bezeichnet. Um diesen Einfluss zu unterbinden, wird dieser Bereich der Iterationen verworfen, um die Auswirkungen der Anfangsfehler zu Beginn der Kette zu reduzieren [24].

Die Beobachtung der Histogramme der Parameter ist dabei eine Möglichkeit die Konvergenz zur stationären Verteilung der Kette zu bewerten [21]. Dazu wird die Geweke-Methode verwendet. Dabei wird das letzte Intervall der Kette mit einem kleineren Intervall am Beginn der Kette, z. B. die ersten 10 % und die letzten 50 % nach dem Entfernen der Anfangsiterationen, verglichen. Sind die Mittelwerte von zwei Intervallen in einem definierten Toleranzbereich, befindet sich die Kette im stationären Zustand [25]. Die Ergebnisse der Anwendung des beschriebenen Algorithmus werden in Kap. 4 dargestellt.

3.2 Zuverlässigkeitsfunktion

Die Zuverlässigkeitsfunktion R(t) ist die häufigste verwendete Funktion bei der Analyse der Standzeitdaten im Ingenieurwesen. Diese Funktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Bauteil für eine bestimmte Zeit fehlerfrei funktioniert. Um die Zuverlässigkeitsfunktion für ein Schneidwerkzeug zu ermitteln, muss zunächst die kumulative Verteilungsfunktion F(t) (Engl.: cumulative distribution function: CDF) des Werkzeugausfalls berechnet werden. Die CDF des Werkzeugausfalls bezieht sich auf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Werkzeug zu dem Zeitpunkt t verschlissen ist und berechnet sich wie folgt:

$$F\left(t\right)=\int _{0}^{t}f\left(T\right)dT.$$

(5)

Hier ist T die Zeit bei der ein Werkzeugausfall auftritt. Als Ausfallkriterium am Ende der Standzeit wird der Freiflächenverschleiß von V_B = 0,3 mm festgelegt. Die Lösung des Integrals ist nicht trivial und wird numerisch gelöst. Die Zuverlässigkeitsfunktion R(t) ist schließlich das Komplement der CDF:

$$R\left(t\right)=1-F\left(t\right)$$

(6)

4 Ergebnisse der Werkzeugstandzeit- und Zuverlässigkeitsvorhersage

In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse der Taylor-Modellparameteridentifikation sowie die Vorhersage der Standzeit und Zuverlässigkeit der Werkzeuge unter Verwendung der Bayesianischen Statistik mittels MCMC-Simulation dargestellt. In diesem Zusammenhang werden die Parameter des Modells unter Verwendung von zwei Standzeitdatenpunkten T_m = {48; 7,6} min bei den entsprechenden Schnittgeschwindigkeiten von V_c = {300; 400} m/min aktualisiert. Das trainierte Modell wird dann verwendet, um die Testdatenpunkte bei den Schnittgeschwindigkeiten von 300 bis 400 m/min vorherzusagen.

4.1 Vorhersage der Werkzeugstandzeit

Die modellierte gemeinsame A‑priori-Verteilung der Modellparameter p(C,n) beinhaltet zunächst eine Kovarianzmatrix, welche als unabhängig definiert wird, siehe Abb. 5. Um die Korrelation der Parameter C und n zu ermitteln, wird der Korrelationskoeffizient bestimmt. Der Korrelationskoeffizient ist das Maß der linearen Beziehung zwischen zwei Parametern, die als Kovarianz der Parameter, dividiert durch das Produkt ihrer Standardabweichungen definiert sind und berechnet sich zu

$$\rho \left(C,n\right)=\frac{cov\left(C,n\right)}{\sigma _{C}\sigma _{n }}.$$

(7)

Anschließend wird eine Monte-Carlo-Simulation durchgeführt, um die A‑priori-Verteilung der Werkzeugstandzeit T unter Verwendung der gemeinsamen A‑priori-Verteilung von C und n zu bestimmen. Für die Simulation werden N = 3000 zufällige C- und n-Proben aus der gemeinsamen Vorverteilung für die Gl. (1) unter Verwendung der Schnittgeschwindigkeiten V_c = {325; 350} m/min gezogen.

Abb. 6 zeigt das Histogramm der Werkzeugstandzeit (in Blau), die entsprechende logarithmische Normalverteilung (rote Linie) und die gemessene Werkzeugstandzeit (Standzeittestdaten) bei den genannten Schnittgeschwindigkeiten. Die Lognormalverteilung liefert dabei ein ausreichend gutes Approximieren an das Histogramm der Standzeit. Die dabei auftretende Rechtsschiefe-Verteilung (right skewed) basiert auf der Potenzgesetzform der Taylor-Gleichung. Die A‑priori-Funktion kann zunächst die gemessene Werkzeugstandzeit aufgrund der wenig informativen A‑priori-Werte für die Modellparameter C und n, basierend auf der Literaturrecherche, nicht vorhersagen.

Es folgt die MCMC-Simulation zur Ermittlung der A‑posteriori-Verteilung der Parameter C und n. Für die Simulation werden 7500 Proben aus den Vorschlagsverteilungen q(C,n) gezogen und die Wahrscheinlichkeitsfunktion aktualisiert. Abb. 7 zeigt das Kurvendiagramm mit dem ersichtlichen Übergang vom transienten in den stationären Bereich der Verteilungen für die ersten 1000 Stichproben des Parameters n. Diese werden als Burn-in-Periode aus der Simulation verworfen, um eine stationäre Verteilung der Stichproben zu gewährleisten.

Abb. 8 zeigt das Histogramm und die Wahrscheinlichkeitsverteilung der gezogenen Proben für den Parameter n. Die normale Wahrscheinlichkeitsverteilung (rote Farbe) wird an das Histogramm der gezogenen Proben angepasst. Die mit den MCMC-Algorithmen berechnete Akzeptanzrate der entnommenen Proben beträgt r = 0,34. Abb. 8 zeigt das Trace-Diagramm der Kette, die sich nach dem Verwerfen der Burn-in-Periode im stationären Zustand befindet. Eine gleichmäßige Verteilung der Stichproben ist damit sichergestellt.

Nach der Abstimmung der Kovarianzmatrix wird K(C,n) für die Vorschlagsverteilung q(C,n) als unabhängig festgelegt und wie folgt beschrieben:

$$K_{\left(C,n\right)}=\left[\begin{array}{cc} 300 & 0\\ 0 & 7e^{-5} \end{array}\right]$$

(8)

Abb. 9 zeigt die gemeinsame A‑posteriori-Verteilung der Parameter C und n unter Verwendung der zwei Aktualisierungsstandzeitdaten. Die Mittelwerte der Parameter C und n betragen 539 m/min und 0,153 und die zugehörigen Standardabweichungswerte betragen 21,6 m/min und 0,013. Vergleicht man die gemeinsame A‑priori- (Abb. 5) und A‑posteriori-Verteilungen (Abb. 9), zeigt sich eine Reduzierung der Unsicherheiten. Darüber hinaus korrelieren die Modellparameter C und n mit dem Korrelationskoeffizienten von 0,93. Der hohe Wert des Korrelationskoeffizienten gegen 1 beschreibt die starke Beziehung zwischen den beiden Parametern C und n.

Die A‑posteriori-Verteilungen der Standzeit werden unter Verwendung der Monte-Carlo-Simulation berechnet, indem die marginalen A‑posteriori-Verteilungen von C und n in die Gl. (1) eingefügt werden. Abb. 10 zeigt die normalen A‑posteriori-Verteilungen der Werkzeugstandzeit in roter Farbe mit dem Mittelwert und der Standardabweichung von 2σ für die vier Schnittgeschwindigkeiten von V_c = {300; 325; 350; 400} m/min. Die A‑priori-Verteilungen werden in den Abbildungen auch mit den Lognormalverteilungen in blauer Farbe dargestellt. Dabei zeigt sich, dass die gemessenen Werkzeugstandzeiten bei allen Schnittgeschwindigkeiten innerhalb des Unsicherheitsintervalls von ±2σ der A‑posteriori-Funktionen liegen, die A‑priori-Funktionen diese jedoch nicht vorhersagen können. Es ist wichtig zu beachten, dass die A‑posteriori-Funktionen mit nur zwei Trainingsdatenpunkten aktualisiert wurden.

Die gemessenen und vorhergesagten Werkzeugstandzeiten werden zusätzlich zum Prozentsatz des Vorhersagefehlers in Tab. 2 angegeben. Die vorhergesagten Werte werden mit dem Mittelwert und einem Standardabweichungsintervall von 1σ angegeben. Die prozentualen Fehlerwerte zwischen gemessener und vorhergesagter mittlerer Werkzeugstandzeit werden wie folgt berechnet:

$$\% _{\text{error}}=\left| \frac{F_{\text{measured}}-F_{\text{predicted}}}{F_{\text{measured}}}\right| \cdot 100.$$

(9)

Tab. 2

Schnittdaten, gemessene Standzeitdatenpunkte und Bayesianische Vorhersage

No	V_c (m/min)	T_{_gemessene} (min)	T__vorhergesagt (min)	T_{_Fehler} (%)
1	300	47,1; 48; 48,9	(46,7; 5,58)	1,2; 2,7; 4,5
2	325	27,5; 28,2; 28,4	(27,5; 2,67)	0; 1,7; 3
3	350	14,3; 14,8; 15,4	(16,9; 1,53)	18; 14,2; 9
4	400	7,3; 7,7; 8	(7,05; 0,84)	3,4; 7,2; 9

Die ermittelten Fehler liegen dabei zwischen 0 % bei einer Schnittgeschwindigkeit von 325 m/min und18 % bei einer Schnittgeschwindigkeit von 350 m/min. Alle gemessenen Standzeitwerte liegen innerhalb der Unsicherheitsintervalle von ±2σ der vorhergesagten Verteilungen.

4.2 Zuverlässigkeitsvorhersage

Basierend auf den ermittelten Werkzeugstandzeiten wird gemäß Gln. (5) und (6) die Zuverlässigkeit vorhergesagt. Abb. 11 zeigt die Zuverlässigkeitsfunktionen R(T) der Werkzeuge bei den Schnittgeschwindigkeiten von V_c = {300; 325; 350; 400} m/min zusammen mit den gemessenen Werkzeugstandzeiten beim Erreichen der durchschnittlichen Freiflächenverschleißmarkenbreite von V_B = 0,3 mm. Die berechneten Mittelwerte der Zuverlässigkeitsfunktionen bei dem Zuverlässigkeitswert von 0,5 entsprechen der vorhergesagten Standzeit bei jeder Schnittgeschwindigkeit.

Die Steigung der Zuverlässigkeitsfunktion wächst mit Zunahme der Schnittgeschwindigkeit von 300 bis 400 m/min. Je höher die Schnittgeschwindigkeit, desto höher ist die Abnahme der Zuverlässigkeit. Bei der Schnittgeschwindigkeit von V_c = 350 mm/min kann die A‑posteriori-Zuverlässigkeitsfunktion die gemessenen Datenpunkte im Vergleich zu den anderen A‑posteriori-Funktionen nicht ausreichend genau vorhersagen. Dies ist auf den höheren, zuvor ermittelten Fehlerprozentsatz zurückzuführen, der unter Verwendung der Gl. (9) in Tab. 2 angegeben wird.

In Tab. 3 sind die vorhergesagten Zuverlässigkeitswerte zusammengefasst. Sie entsprechen den gemessenen Werkzeugstandzeitdatenpunkten. Die Zuverlässigkeiten des Fräswerkzeugs bei den Schnittgeschwindigkeiten von V_c = {300; 325} m/min liegen näher am Funktionsmittelwert 0,5 aufgrund der genaueren Vorhersage der Testdatenpunkte bei diesen Schnittgeschwindigkeiten. Grundsätzlich nimmt die Zuverlässigkeit des Werkzeugs mit zunehmender Schnittlänge ab. Sie verringert sich mit Erhöhung der Schnittgeschwindigkeit. Abschließend ist festzustellen, dass die Ausfallwahrscheinlichkeit eines Schneidwerkzeugs zu einer bestimmten Schneidzeit mit Hilfe der Zuverlässigkeitsfunktion ermittelt werden kann.

Tab. 3

Gemessene Standzeitdatenpunkte und die entsprechenden Zuverlässigkeitswerte

No	V_c (m/min)	T_gemessene (min)	R(t)
1	300	47,1; 48; 48,9	0,47; 0,41; 0,35
2	325	27,5; 28,2; 28,4	0,5; 0,4; 0,37
3	350	14,3; 14,8; 15,4	0,95; 0,91; 0,84
4	400	7,3; 7,7; 8	0,38; 0,22; 0,13

5 Zusammenfassung

Die dargestellten Untersuchungen beinhalten die probabilistische Vorhersage der Werkzeugstandzeit und die Zuverlässigkeitsanalyse eines Fräswerkzeugs bei Schnittgeschwindigkeiten von 300 bis 400 m/min. Die Bayesianische MCMC-Methode wurde auf das Taylor-Modell angewendet, um die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Werkzeugstandzeit zu ermitteln. Die numerische Quantifizierung und Minimierung der Standzeitunsicherheit wurden unter Verwendung des Metropolis-Algorithmus der MCMC-Simulation durchgeführt. Die A‑priori-Verteilungen wurden als Lognormalverteilungen modelliert. Die A‑posteriori-Verteilungen wurden nach Aktualisierung der Modellparameter unter Verwendung von zwei gemessenen Werkzeugstandzeiten T_m = {7,6; 48} min mit den jeweiligen Schnittgeschwindigkeiten von V_c = {300; 400} m/min ermittelt. Anhand der Zuverlässigkeitsfunktion wurde abschließend eine Zuverlässigkeitsvorhersage zum Erreichen der festgelegten Verschleißmarkenbreite modelliert und vorhergesagt.

In dieser Forschung wurden die Unsicherheiten der Taylor-Modellparameter C und n, sowie die Standzeitverteilungen bei allen Schnittgeschwindigkeiten minimiert. Die ermittelten A‑posteriori-Verteilungen der Werkzeugstandzeit konnten alle Testdatenpunkte innerhalb der Unsicherheitsintervalle mit einem maximalen Vorhersagefehler von 18 % (bei V_c = 350 m/min) vorhersagen. Des Weiteren konnten die Zuverlässigkeitsfunktionen die Testdatenpunkte um die Funktionsmittelwerte (mit Ausnahme der Schnittgeschwindigkeit von V_c = 350 m/min) vorhersagen.

Die durchgeführte probabilistische Modellierung und Vorhersage der Standzeit und Zuverlässigkeit eines Fräswerkzeugs mittels der Bayesianischen Statistik ermöglicht die Vorhersage der Werkzeugstandzeit und die Bestimmung der Zuverlässigkeit eines Fräswerkzeugs mit einer gewissen Genauigkeit innerhalb eines definierten Unsicherheitsintervalls. Das entwickelte Modell ist dabei nicht allgemein gültig und nur für diesen Anwendungsfall bestimmt. Je nach Werkzeuggeometrien, Werkstückmaterialien und Schnittgeschwindigkeiten ist das Modell anzupassen. Beispielsweise müssen für jede Kombination aus Schneidwerkzeug und Werkstückmaterial sowie für eine neue Schnittgeschwindigkeit die Parameter C und n neu festgelegt und die Standzeit und die Zuverlässigkeitsfunktion neu berechnet werden.

Danksagung

Der korrespondierende Autor dankt dem Karlsruhe House of Young Scientist (KHYS) des KIT zur Förderung des Forschungsaufenthalts an der University of North Carolina in Charlotte im Rahmen eines Stipendiums.

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Titel: Probabilistische Modellierung und Vorhersage der Standzeit und Zuverlässigkeit eines Fräswerkzeugs mittels der Bayesianischen Statistik
verfasst von: M. Salehi
G. Wald
T. L. Schmitz
R. Haas
J. Ovtcharova
Publikationsdatum: 27.01.2020
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Erschienen in: Forschung im Ingenieurwesen / Ausgabe 2/2020
Print ISSN: 0015-7899
Elektronische ISSN: 1434-0860
DOI: https://doi.org/10.1007/s10010-019-00391-0

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Die im Laufe eines Jahres in der „adhäsion“ veröffentlichten Marktübersichten helfen Anwendern verschiedenster Branchen, sich einen gezielten Überblick über Lieferantenangebote zu verschaffen.

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Zusammenfassung

1 Einleitung

2 Versuchsaufbau und empirische Datengewinnung

3 Methodik

3.1 Bayesianische Inferenz des Taylor-Standzeitmodells

3.1.1 Identifikation der Taylor-Modellparameter

3.1.2 Anwendung von MCMC auf das Taylor-Modell

3.2 Zuverlässigkeitsfunktion

4 Ergebnisse der Werkzeugstandzeit- und Zuverlässigkeitsvorhersage

4.1 Vorhersage der Werkzeugstandzeit

4.2 Zuverlässigkeitsvorhersage

5 Zusammenfassung

Danksagung

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Efficiency and heat balance calculation of worm gears

Analyse von Tilgerkonfigurationen mit trockenen Reibungselementen

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