Prophetentheorie

Seit 1978 ist ein neues Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie entstanden — die Prophetentheorie. Diese Theorie beschäftigt sich mit Situationen von der folgenden Art: Zwei Akteure — der Statistiker und der „Prophet“ — beobachten eine Folge X₁, X₂, ... von Zufallsgrößen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,5, P). Der Statistiker kann zu jedem Zeitpunkt i entscheiden, ob er die beobachtete Zufallsgröße X _i als „Auszahlung“ akzeptieren will oder nicht; auf eine einmal abgelehnte Auszahlung kann er nicht mehr zurückgreifen. Bei seiner Entscheidung über die Annahme/Ablehnung der Auszahlung X _i darf er durchaus alle bisher beobachteten X₁,..., X₁ berücksichtigen — d.h. er kann die Informationen aus der Vergangenheit nutzen —, nicht jedoch die zukünftigen Werte.

Ziel des Propheten ist es, durch die Wahl einer geeigneten Wahrscheinlichkeitsverteilung P ∈ V zu erreichen, daß seine Auszahlung bzw. sein „Garantiewert“ inf _Τ∈τ(P,τ) möglichst groß wird. Es ist daher naheliegend, nach (möglichst kleinen) Teilklassen P∼ ⊂ P zu suchen, auf die sich der Prophet ohne Nachteile beschränken kann.

Im Anschluß an den unabhängigen Fall liegt es nahe, die Strategienmenge des Propheten noch weiter auf Folgen von stochastisch unabhängigen, identisch verteilten Zufallsgrößen einzuschränken (iid-Fall). Während dieser Fall für wahrscheinlichkeitstheoretische Untersuchungen (z.B. Gesetze der großen Zahlen, Zentraler Grenzwertsatz, Satz vom iterierten Logarithmus) häufig besonders einfach ist, verkompliziert die zusätzliche Bedingung der identischen Verteilung die Prophetentheorie ganz erheblich; insbesondere hat man nicht mehr so weitreichende Reduktionsmöglichkeiten wie in den vorherigen Kapiteln.

Im folgenden betrachten wir ausschließlich konstante Diskontierungen und lineare Beobachtungskosten. Obwohl in beiden Fällen ähnlich zu Satz (7.2) eine Reduktion auf endliche diskrete Verteilungen möglich ist (siehe Satz (8.8) für diskontierte Auszahlungen), bereitet es enorme Schwierigkeiten, Ergebnisse für den endlichen Horizont herzuleiten. Während man den Wert des Statistikers wiederum anhand der Einzelwahrscheinlichkeiten berechnen könnte, ist die Bestimmung der erwarteten Auszahlung des Propheten nur in Ausnahmefällen möglich. Hingegen gelingt eine solche Berechnung in dem in b) behandelten Fall der Enddiskontierung beim Propheten.