11. Spuren, Normen, Discriminanten (§ 167.)

Diese sind offenbar homogene lineare Functionen der n Coordinaten \(x_r\), und die Coefficienten dieser Functionen sind die Coordinaten der Producte \(\omega _r\omega _s\). Vergl. §. 182.

Aus dem Satze X in §. 164 und dessen unmittelbaren Folgerungen geht hervor, dass der Inbegriff \(\mathfrak {A}\) aller dieser algebraischen Zahlen ein (nicht endlicher) Körper, und dass jede in Bezug auf \(\mathfrak {A}\) algebraische Zahl nothwendig in \(\mathfrak {A}\) selbst enthalten ist. Dass aber mit \(\mathfrak {A}\) das Reich aller Zahlen noch nicht erschöpft ist, dass es also noch andere, sogenannte transcendente Zahlen giebt, ist meines Wissens zuerst von Liouville bewiesen (Sur des classes très-étendues de quantités dont la valeur n’est ni algébrique, ni méme réductible à des irrationnelles algébriques. Journal de Math. t. XVI, 1851). Einen anderen Beweis findet man in der Abhandlung von G. Cantor: Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen (Crelle’s Journal, Bd. 77, 1874). Dann hat Ch. Hermite (in der Abhandlung Sur la fonction exponentielle, 1874) zuerst den strengen Beweis geliefert, dass die Basis e des natürlichen Logarithmensystems eine transcendente Zahl ist, und durch die hieran sich anschliessenden Untersuchungen von Lindemann (Ueber die Zahl \(\pi \); Math. Annalen, Bd. 20) und Weierstrass (Sitzungsberichte der Berliner Ak. 1885) ist endlich der allgemeinere Satz bewiesen, dass, wenn \(\alpha \) irgend welche verschiedene Zahlen in \(\mathfrak {A}\) durchläuft, die entsprechenden Potenzen \(e^{\alpha }\) immer ein nach \(\mathfrak {A}\) irreducibeles System bilden, woraus als specieller Fall die Transcendenz der Ludolph’schen Zahl \(\pi \), also auch die vorher noch nicht erwiesene Unmöglichkeit der Quadratur des Cirkels hervorgeht. Vergl. auch Hurwitz: Ueber arithmetische Eigenschaften gewisser transcendenter Functionen (Math. Annalen, Bdde. 22 und 32), ferner die neuesten, sehr einfachen Beweise für die Transcendenz der Zahlen e und \(\pi \) von Hilbert und Hurwitz (Nachr. v. d. Göttinger Ges. d. W., 1893).

Als besonderen Satz irgendwo (wohl schon in §. 163) vorauszuschicken: Ist der Körper K Divisor von M und Multiplum von A, und \(\varphi \) eine Permutation von A, so findet man alle mit \(\varphi \) einigen Permutationen \(\pi \) von M und jede nur einmal, wenn man zunächst alle verschiedenen mit \(\varphi \) einigen Permutationen \(\chi \) von K, hierauf jede mit einer Permutation \(\chi \) einige Permutation \(\pi \) von M bildet.

[Satz 4” in den Zusätzen zu §. 163]

[Satz 3” in den Zusätzen zu §. 163]

[Satz 4” in den Zusätzen zu §. 163]

[Satz 4” in den Zusätzen zu §. 163]

[Satz II in §. 166]

[Satz III in den Zusätzen zu §. 166]

Zu bemerken: \(\left. {S}\atop {N}\right\} (\beta ,B,A)=\left. {S}\atop {N}\right\} (\beta ,AB,A).\)

[(1), (2), (3), (4) in §.167]

[Zusätze zu §. 167]