Streifzüge durch die Kontinuumstheorie

In der Kontinuumstheorie gibt es zwei auf das Erbittertste einander feindlich gesinnte, ideologische Lager, nämlich die Anhänger der symbolischen und die Anhänger der indexbezogenen Schreibweise. Die ersteren betonen den absoluten Charakter, den Natur- und Materialgesetze haben müssen, d.h. dass diese unabhängig vom Beobachter und – damit einhergehend – unabhängig vom gewählten Koordinatensystem formulierbar sind. Ob das prinzipiell gelingt, d.h. ob die formulierten Zusammenhänge zwischen tensoriellen Größen, welche die Natur- und Materialgesetze in mathematische Form zwängen, „richtig“ sind, ist eine zutiefst philosophische Frage und kann letztlich nur durch Experimente entschieden werden. Dazu jedoch bedarf es Messungen in Zeit und Raum, durch einen Beobachter, und genau dieses wird durch die Indexschreibweise der Gleichungen implizit betont. Die symbolische Schreibweise hat sicherlich einen gewissen ästhetischen Appeal, der sofort sichtbar wird, wenn man sie dem schwerfälligen Indexkalkül gegenüberstellt. Aber zum Rechnen und zum Lösen konkreter ingenieurwissenschaftlicher Probleme taugt die symbolische Schreibweise nur begrenzt. Es ist genauso wie mit Kleidungsstücken: Ein Smoking mag für Bayreuth angemessen sein und den Träger verschönen, aber für Gartenarbeit ist er total unpraktisch.

In den vorherigen Kapiteln haben wir bereits einige wichtige Grundbegriffe der Tensorrechnung kennengelernt, nämlich den Begriff der Metrik und den der ko- / kontravarianten Koordinatendarstellung inklusive ihrer anschaulichen Interpretation als Parallel-, respektive Orthogonalprojektion auf die Koordinatenachsen. Im nächsten Kapitel werden wir uns mit Ableitungen nach beliebig krumm- und schiefwinkeligen Ortskoordinaten beschäftigen und erläutern, wie sich diese in die Tensorrechnung oder besser gesagt in die Tensoranalysis einbetten lassen. Dass dieses nötig ist, soll vorab motiviert werden, und aus diesem Grunde präsentieren wir in diesem Kapitel die erste zur Lösung kontinuumstheoretischer Probleme notwendige „Zutat“, nämlich die sogenannten Bilanzgleichungen, in denen Ortsableitungen eine wichtige Rolle spielen.

Beim Betrachten der allgemeinen Bilanzgleichungen (3.7.3 / 4) wird in Kombination mit den Tabellen 3.1 und 3.2 klar, dass es nötig ist, sich über Ortsableitungen skalarer Felder wie der Massendichte, vektorieller Felder wie z. B. der Geschwindigkeit und schließlich tensorieller Felder wie z. B. der Spannung in beliebigen Koordinatensystemen Gedanken zu machen.

Bei der Lösung kontinuumstheoretischer Probleme geht man i. a. folgendermaßen vor: Durch Kombination der lokalen Bilanzen für Masse, Impuls und Energie in regulären Punkten mit geeigneten Materialgleichungen erhält man fünf partielle, miteinander gekoppelte Differentialgleichungen für die fünf primär interessierenden Feldgrößen Massendichte, Geschwindigkeit (bzw. Verschiebung) und Temperatur. Diese komplettieren wir durch Vorgabe von Rand- und Anfangsbedingungen. An scharfen Übergängen im Körper (z. B. Gebiete mit unterschiedlichen Materialkonstanten) sind Übergangsbedingungen zu gewährleisten und diese erhält man aus den lokalen Bilanzen in singulären Punkten, unter Umständen auch wieder unter Beachtung geeigneter Materialansätze. In ihrer Gesamtheit sprechen wir von diesem Komplex an Gleichungen auch als von einem wohldefinierten Feldgleichungssystem.

Wenn man so vorgeht, wird man zur konkreten Lösung des Feldgleichungssystems i. a. numerische Methoden verwenden müssen. Analytische Lösungen gelingen nur bei wenigen hochsymmetrischen Problemen mit relativ einfachen Materialansätzen, von denen wir in diesem Buch bereits das Hookesche Gesetz und den Navier-Stokes-Fourier-Ansatz kennengelernt haben.

In Kapitel 5 haben wir uns bereits ausführlich mit der Frage beschäftigt, wie sich die Bilanzgleichungen in beliebigen krummlinigen Koordinatensystemen schreiben. Zusammenfassend darf man sagen, dass die Bilanzen in allen Koordinatensystemen dieselbe Form haben und bei Koordinatenwechsel keine koordinatensystemabhängigen Größen zusätzlich auf den Plan treten. Die Bilanzgleichung in generischer, voll allgemeiner Form haben wir schon in (3.7.3) notiert: Es gibt eine lokale Zeitableitung der betreffenden zu bilanzierenden Größe, einen konvektive und einen nichtkonvektiven Term, eine Zufuhr und eine Produktion. Und in der Tat, diese Struktur bleibt erhalten, gleichgültig welches Koordinatensystem wir zugrunde legen: Wollen wir aus praktischen Gründen die Bilanzgleichungen in einem nichtkartesischen Koordinatensystem lösen, so transformieren wir jeden Term, der in kartesischen Koordinaten relativ einfach zu formulieren ist, aus dem kartesischen System heraus in das krummlinige System hinein. Diesen Übergang zu konkretisieren, erlauben die ko-/kontravariant formulierten Gleichungen für Masse, Impuls und Energie aus Kapitel 5. Man beachte nochmals, dass beim Heraustransformieren keinerlei koordinatensystemsbedingte Größen entstehen, die man dann z. B. im Sinne einer zusätzlichen Zufuhr interpretieren müsste, welche sich nur durch die Wahl des betreffenden Koordinatensystem ergäbe.

Wir haben in den vorherigen Abschnitten die mathematischen Grundlagen zur Behandlung kontinuumsmechanischer Probleme gelegt, nämlich die Bilanzgleichungen für Masse, Impuls und Energie in lokaler und globaler Form. In Verbindung mit entsprechenden Materialgesetzen, in unserem Falle konkret dem Hookeschen Gesetz und der Navier-Stokes-Fourierschen Materialgleichung haben wir auch bereits die resultierenden Feldgleichungen für einfachste Geometrien (etwa den eindimensionalen Zugstab oder die planparallele Scherströmung) gelöst. In den sich anschließenden Abschnitten wollen wir nun geometrisch anspruchsvollere Problemstellungen betrachten. Wir werden dabei sogar über das Gebiet der Thermomechanik hinausgehen und den Elektromagnetismus in kontinuumstheoretischer Weise mit einbeziehen.

Man betrachte die analog zur Abb. 7.4 verlaufende ebene Scherströmung zwischen zwei unendlich ausgedehnten, planparallelen Platten: Abb. 10.1. Aus Gründen der Vereinfachung der kommenden Rechenoperationen soll jedoch diesmal die obere Platte an der Stelle y = H fest sein, während sich die untere bei y = 0 im Gegensatz zur Aufgabenstellung der Übung 7.4.1 mit der zeitabhängigen Geschwindigkeit V(t) bewegt. Wie in jener Übung suchen wir das sich ausbildende Strömungsfeld, mit dem Unterschied, dass diesmal nicht der stationäre Zustand, sondern die Anlaufströmung von besonderem Interesse ist. Die Störung, d. h. der Anriss, geht von der unteren Platte aus. Um die resultierenden Formeln einfach zu halten, legen wir den Ursprung des Koordinatensystems in die untere Plattenebene.

Im folgenden betrachten wir eine metallische Hohlkugel, den Kessel, welcher unter einem sehr hohen Innendruck stehen soll. De facto soll ein Druck erreicht werden, der groß genug ist, das Metall zum plastischen Fließen zu bringen.

Die Entropie und der zweite Hauptsatz der Thermodynamik gehören zu den physikalisch-technischen Konzepten, über die gerne viel Mystisches geschrieben wird. Das liegt wohl einerseits daran, dass die Entropie und die ihr zugeordnete Entropieproduktion relativ schwer fassbare, da abstrakte Größen sind, für die wir kein Bauchgefühl haben, anders als bei der Masse, der Geschwindigkeit oder sogar der inneren Energie und dem Wärmeübergang. Andererseits berührt die Entropie auch sehr grundsätzliche Eigenheiten unserer physikalischen Welt, nämlich ihre Vergänglichkeit und Irreversibilität, und so etwas ruft schnell Philosophen, Phantasten, Propheten und Ähnliche auf den Plan.

Diesen wollen wir uns natürlich möglichst nicht anschließen! Ganz im Gegenteil: Wir werden in diesem Kapitel zeigen, dass die Entropie ein für den Ingenieur überaus nützliches Werkzeug darstellt. Es hilft uns nämlich erstens dabei, die Anzahl nötiger kalorimetrischer Messungen zur Bestimmung der inneren Energie erheblich einzuschränken. Zweitens gelingt es mit der Entropie, die mögliche Form von Materialgleichungen, wie beispielsweise dem Wärmefluss und dem Spannungstensor, von Zustandsvariablen einzugrenzen, und drittens wird es über die Entropie möglich, den Grad der Irreversibilität eines Prozesses zu quantifizieren.

Als Ingenieurstudent lernt man die Grundlagen der Elektrodynamik, also i. w. die vier Maxwellschen Gleichungen, normalerweise nicht in der Form, wie wir sie weiter unten angeben werden. Ein Grund hierfür liegt darin, dass weder der typische Elektrotechniker der Praxis noch der typische Physiker oder Kontinuumstheoretiker die Aufgabe haben, eine Materialtheorie aufzubauen, die es sich zum Ziel setzt, neben den schon bekannten fünf Feldern der Thermomechanik, also der Massendichte ρ(x, t), der Geschwindigkeit υ(x, t) und der Temperatur T(x, t) noch zusätzlich die (unbekannten) Felder der Elektrodynamik, nämlich die elektrische Ladungsdichte q(x, t) und den Stromdichtevektor j(x, t) in Verbindung mit der elektrischen Feldstärke E(x, t) und der magnetischen Flussdichte (Induktion) B(x, t) in allen Punkten x eines materiellen Kontinuums zu allen Zeiten t seiner Bewegung zu bestimmen. Man hilft sich hier i. a. mit einfachsten Materialansätzen oder studiert vornehmlich Probleme, bei denen die mögliche Bewegung der Materie nicht von Bedeutung ist. In solchen Fällen sind die vier Maxwellschen Gleichungen in nachstehender Form völlig ausreichend, wie man sie z. B. in dem in Deutschland verbreiteten Buch von Becker und Sauter (1973) auf St. 142. Gleichung (7.1.4) finden kann.