3. Tensoranalysis

In Kap. 5 werden sogar vier Raumdimensionen betrachtet.

Der Begriff des krummlinigen Koordinatensystems soll als Verallgemeinerung verstanden werden. Deshalb gelten auch kartesische oder affine Koordinaten als – spezielle – krummlinige Koordinaten.

In verschiedenen Lehrbüchern wird der Leser unterschiedliche Definitionen der Summationskonvention finden. Beispielsweise kann man die Summationskonvention auch für den Fall zulassen, dass derselbe Indexbuchstabe in derselben vertikalen Position auftritt. Im Rahmen dieses Buches wenden wir jedoch absichtlich eine recht restriktive Version der Summationskonvention an, da sie für die meisten Zwecke völlig ausreichend ist und für den Leser weniger verwirrend sein dürfte. In vielen Lehrbüchern über die Relativitätstheorie wird die Konvention verwendet, dass zu griechischen Buchstaben, die als laufende Indizes verwendet werden, der Wertebereich \(\{1,2,3,4\}\) gehört, während lateinische Buchstaben als laufende Indizes nur den Wertebereich \(\{1,2,3\}\) besitzen. Manche Lehrbücher benutzen eine analoge Konvention, verwenden für griechische Buchstaben jedoch den Wertebereich \(\{0,1,2,3\}\). Im vorliegenden Buch werden griechische und lateinische laufende Indizes gleichbehandelt; sie nehmen stets Werte aus \(\{1,2,\dots,n\}\) an, wobei die Raumdimension \(n\) aus dem Kontext hervorgeht oder beliebig gewählt werden darf.

Dass die Raumdimension aus der Gleichung selbst nicht hervorgeht, kann man als Vorteil (weil die Gleichungen prinzipiell für beliebige Raumdimension gültig sein können) oder als Nachteil der Indexschreibweise (weil man die Raumdimension an anderer Stelle anmerken muss) sehen.

Die Koordinatenlinie zur Koordinate \(\theta^{i}\) ist die Kurve, die entsteht, wenn man \(\theta^{i}\) variiert und alle anderen Koordinaten \(\theta^{k}\) mit \(k\neq i\) konstant hält. Die Koordinatenfläche zur Koordinate \(\theta^{i}\) ist die Fläche, die entsteht, wenn man die Koordinate \(\theta^{i}\) konstant hält und alle anderen Koordinaten \(\theta^{k}\) mit \(k\neq i\) variiert. Der Begriff der Koordinatenfläche hat natürlich nur im dreidimensionalen Raum eine anschauliche Bedeutung. Die Koordinatenlinien müssen im Allgemeinen nicht senkrecht auf den Koordinatenflächen stehen.

Im Differentialquotienten \(\frac{\partial\Phi}{\partial\theta^{i}}\) in (3.19) ist \(i\) gemäß Regel 3.5 als unterer Index anzusehen. Eine Summation gemäß Regel 3.1 über \(i\) kann somit nur stattfinden, weil \(i\) in \(\vec{g}{}^{\,i}\) als oberer Index auftritt. Dies ist der Grund, warum in der Definition (3.18) die Vektoren \(\vec{g}{}^{\,i}\) mit einem oberen Index eingeführt wurden.

Beispielsweise sind Kugel- oder Zylinderkoordinaten, aber auch nicht-orthogonale Koordinatensysteme möglich. Auch geradlinige Koordinatensysteme (affin oder kartesisch) sind als Spezialfall möglich.

Von nun an wird nicht mehr explizit auf die Einstein’sche Summationskonvention hingewiesen. Die Regeln 3.1 bis 3.5 werden stillschweigend angewandt.

Dass man die beiden Indizes übereinanderschreiben darf, kann man an dieser Stelle noch nicht wissen. Die Begründung wird in Fußnote 28 in Abschn. 3.5nachgeholt.

Beim Einsetzen eines Ausdrucks in einen anderen Ausdruck ist wegen der Einstein’schen Summationskonvention darauf zu achten, dass die im ersten Ausdruck verwendeten Summationsindizes sich von den im zweiten Ausdruck verwendeten Indizes unterscheiden. Bei der hier durchgeführten Substitution tritt jedoch in beiden Ausdrücken der Index \(k\) auf. Deshalb wurde in (3.28) der Index \(k\) durch \(l\) ersetzt, bevor die Substitution durchgeführt wurde. Hätte man dies nicht getan, dann würde in der resultierenden Gleichung dreimal der Index \(k\) auftreten, und man wüsste nicht mehr, welche zwei Indizes \(k\) als Summationsindizes dienen.

Daran, dass die Matrix \((g_{ik})\) der Metrikkoeffizienten eine Diagonalmatrix ist, erkennt man, dass es sich beim \(u\)-\(v\)-Koordinatensystem um ein orthogonales Koordinatensystem handelt; unterschiedliche Basisvektoren \(\vec{g}_{i}\) und \(\vec{g}_{k}\)stehen orthogonal aufeinander.

Ab jetzt werden wir für Formeln mit Nummern (B.x) nicht mehr in jedem Fall auf die konkrete Tabelle im Anhang verweisen. Es sollte trotzdem leicht sein, sie dort zu finden.

Von nun an wird von den für die Indexschreibweise gültigen Rechenregeln wie zum Beispiel der Kettenregel, der Produktregel oder Beziehungen wie \(\vec{g}_{i}\cdot\vec{g}{}^{\,k}=\delta^{k}_{i}\) oder \(A^{i}\;\delta^{k}_{i}=A^{k}\) stillschweigend Gebrauch gemacht. Noch ungeübten Leserinnen und Lesern sei empfohlen, jeden Schritt von Hand nachzuvollziehen und sich die benötigten Formeln aus den vorangegangenen Abschnitten, insbesondere aus Tab. Tab.​ B.​16, herauszusuchen. Auch sollten sie sich überlegen, wie die Formeln, die Summationsindizes enthalten, ausführlich geschrieben aussehen würden, um sich von der Zulässigkeit der Rechenschritte zu überzeugen. Die Multiplikation einer Gleichung mit einer indizierten Größe kann beispielsweise dazu führen, dass eine Summation durchzuführen ist, die in der ursprünglichen Gleichung nicht auftrat.

Dass das Skalarprodukt \(\vec{e}_{i}\cdot\vec{e}^{\;p}\) zweier kartesischer Einheitsvektoren gleich dem Kroneckersymbol \(\delta^{p}_{i}\) ist, ist aufgrund der Orthogonalität offensichtlich.

Wie schon bei der Einführung des Kroneckersymbols kann man auch hier noch nicht einsehen, warum die ersten Indizes übereinanderstehen dürfen. Das Christoffelsymbol wird in verschiedenen Büchern durchaus auch auf andere Weise mit Indizes versehen. Wir werden jedoch ausschließlich die hier verwendete Indexstellung verwenden, sodass man diese als willkürliche Definition ansehen sollte. Hierauf wird auch in Fußnote 29 in Abschn. 3.7.5eingegangen.

Ein solches Umbenennen von Summationsindizes ist stets möglich, da die freien Indizes davon nicht berührt werden.

Ziel der Umwandlung ist es, alle kartesischen Koordinaten, Basisvektoren und Vektorkomponenten durch krummlinige Koordinaten, Basisvektoren und Vektorkomponenten auszudrücken.

Der Begriff „krummlinige Koordinaten“ soll als Oberbegriff verstanden werden – er schließt also auch kartesische oder affine Koordinaten mit ein.

Unter dem Koordinatensystem \(\bar{K}\) verstehen wir in diesem Buch ein Koordinatensystem, dessen Koordinaten \(\bar{\theta}^{i}\) durch einen Querstrich gekennzeichnet sind, während die Koordinaten \(\theta^{i}\) des Koordinatensystems \(K\)nicht speziell markiert sein sollen.

Wir schreiben verkürzend „Skalar“, obwohl wir aufgrund der Ortsabhängigkeit besser von Skalarfeldern sprechen sollten. Auch der Begriff „Vektor“ steht in diesem Buch oftmals verkürzend für ein Vektorfeld.

Der hier vorgestellte Weg zu zeigen, dass \(e^{kli}\Gamma^{m}_{il}=0\) gilt, ist vergleichbar mit dem in Abschn. 3.1.9, der auf das Ergebnis \(\vec{S}_{2}=0\) führte. In beiden Fällen wird durch Ausnutzung von Asymmetrien gezeigt, dass der Ausdruck gleich sich selbst multipliziert mit \(-1\)ist.

Man beachte, dass \(\Phi\) ein Skalarfeld ist, das unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems in einem bestimmten Punkt des Raumes denselben Wert besitzen muss – verwendet man für das Skalarfeld in \(\bar{K}\) das Symbol \(\bar{\Phi}\), so muss \(\bar{\Phi}=\Phi\) gelten.

Die Indizes \(i\) und \(k\) wurden vertauscht.

Die Indizes \(i\) und \(k\) wurden wieder vertauscht.

Dadurch, dass wir die Indizes des Christoffelsymbols direkt übereinanderschreiben, bringen wir den Leser auch nicht in Versuchung, diese beliebig heben oder senken zu wollen, wie es für Tensorkomponenten zulässig wäre.

Vektorgleichungen enthalten üblicherweise auch Skalare, also Tensoren nullter Stufe. In diesem Sinne sind Vektorgleichungen spezielle Tensorgleichungen, in denen Tensoren maximal erster Stufe auftreten. Allerdings benötigte man auch in der klassischen Vektoranalysis bisweilen Tensoren zweiter Stufe (sogenannte Dyaden), sodass die Vektoranalysis entsprechend erweitert wurde. Der Übergang zur Tensoranalysis mit Tensoren beliebiger Stufe ist also fließend.

Wir werden allerdings in Kap. 6 feststellen, dass diese Sichtweise im Sinne der speziellen Relativitätstheorie bei bewegten Bezugssystemen aufgegeben werden muss.

Jetzt wird verständlich, warum die Verschiebung um \(\vec{r}_{0}\) bei der Verallgemeinerung der Formeln für den elektrischen bzw. magnetischen Dipol so wichtig war (siehe Fußnote 1 aus Abschn. 2.​1 und Fußnote 6 aus Abschn. 2.​2.​4). Nur so entstehen echte Vektor- bzw. Tensorgleichungen, die nicht nur gegen Drehungen, sondern auch gegen Translationen invariant sind.

Dies ist vergleichbar mit Vektoren, deren Komponenten zwar Indizes besitzen, die man aber selbst ohne Index schreibt.

Man kann natürlich auch mehrere Indizes zu Summationsindizes machen, sodass dann die Stufe um Vielfache von zwei vermindert wird.

Im engeren Sinne unterscheidet man je nach Position des Index hinter dem Ableitungsstrich zwischen kovarianter und kontravarianter Ableitung. Im weiteren Sinne bezeichnet man beide Formen als kovariante Ableitung.

Wegen Regel 3.23 ist diese Herleitung eigentlich nicht erforderlich, da (3.249) bis (3.251) direkt aus (3.247) folgen. Die Rechnung ist aber zu Übungszwecken hier abgedruckt.

Wie immer sind streng genommen Vektorfelder und Tensorfelder gemeint, die wir aber vereinfachend und kurz als Vektoren und Tensoren bezeichnen.

Der Begriff „Skalar“ wurde hier vermieden, da im Folgenden die Vektorkomponenten \(A_{i}\) und \(B_{i}\) als Zahl \(\alpha\) verwendet werden, die im Sinne des Transformationsverhaltens keine Skalare sind.

Da ein Vektor auch nur ein Tensor ist, nämlich ein Tensor erster Stufe, ist es eigentlich nicht erforderlich, ihn durch einen Vektorpfeil zu kennzeichnen. Wir tun dies bisweilen trotzdem, um dem Leser ein schnelleres Erkennen der vertrauten Vektoren zu ermöglichen – in der Regel ist die Stufe von Tensoren aus Tensorgleichungen nicht direkt ersichtlich; sie muss stets separat erwähnt werden.

Eine Matrix ist lediglich eine Zusammenfassung von Komponenten. Ein Tensor zweiter Stufe lässt sich deshalb als Matrix schreiben; er beinhaltet aber wesentlich mehr Informationen als eine Matrix, da das Transformationsverhalten seiner Komponenten feststeht.

Wie man sieht, enthält die Tensorgleichung selbst keinerlei Informationen darüber, welche Stufe die in ihr enthaltenen Tensoren haben. Im vorliegenden Fall ist also zusätzlich das Wissen erforderlich, dass es sich bei \(T\) und \(U\) um Tensoren \(n\)-ter Stufe handelt.

Es gelten natürlich wieder ähnliche Überlegungen wie in der Vektoranalysis, nach denen \(\nabla\) nur formal, nicht aber im strengen Sinne als Vektor behandelt werden darf (siehe Grundlagenband).

Die Großschreibung \(\operatorname{Div}\) soll verdeutlichen, dass es sich nicht um die „normale“ Divergenz eines Vektors handelt, die einen Skalar liefert, sondern um eine Divergenz, die einen Vektor liefert – prinzipiell ist aber auch die Kleinschreibung \(\operatorname{div}\) zulässig.

Prinzipiell wäre es auch möglich, den Gradienten eines Vektors ebenso wie den Gradienten eines Skalars mit \(\operatorname{grad}\) zu bezeichnen. Mit der Großschreibung soll betont werden, dass es sich dabei nicht um den gewöhnlichen Gradienten aus der Vektoranalysis handelt, der einen Vektor liefert, sondern um einen Gradienten, der einen Tensor höherer Stufe liefert.

In (12.​27) ist \(i\) durch \(l\) und \(k\) durch \(m\) zu ersetzen, sodass man \(e_{lmq}\;e^{qnp}=\delta_{l}^{n}\delta_{m}^{p}-\delta_{l}^{p}\delta_{m}^{n}\) erhält. Wegen \(e^{qnp}=e^{npq}\) und \(e_{lmq}=e_{qlm}\)entspricht dies dem gesuchten Ausdruck.

Die Überlegung, ob über die Zeilennummer oder die Spaltennummer zu summieren ist, muss man immer sorgfältig durchführen, wenn man Gleichungen in Indexschreibweise in eine Matrixform übersetzen möchte. Natürlich kann man nicht jede in Indexform geschriebene Gleichung als Matrizengleichung schreiben, da eine indizierte Größe zum Beispiel auch mehr als zwei Indizes besitzen kann.

Im euklidischen Raum kann man natürlich krummlinige Koordinatensysteme benutzen, wovon wir ausgiebig Gebrauch gemacht haben. Im Gegensatz zu gekrümmten Räumen, in denen kein kartesisches Koordinatensystem möglich ist, muss im euklidischen Raum prinzipiell eines existieren – auch wenn man es nicht benutzt.